Контрольная работа № 4 «Логарифмические уравнения и неравенства». Вариант № 4.

Вычислить:

1. a) \( \log_{5} 625 \)

\( \log_{5} 625 = \log_{5} 5^4 = 4 \)

2. б) \( \log_{8} \frac{1}{64} \)

\( \log_{8} \frac{1}{64} = \log_{8} 8^{-2} = -2 \)

3. в) \( \log_{6} 12 + \log_{6} 3 \)

\( \log_{6} 12 + \log_{6} 3 = \log_{6} (12 \cdot 3) = \log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2 \)

4. г) \( \log_{8} \frac{1}{16} - \log_{8} 32 \)

\( \log_{8} \frac{1}{16} - \log_{8} 32 = \log_{8} (\frac{1}{16} : 32) = \log_{8} \frac{1}{512} \)

\( 512 = 8^3 \), значит \( \frac{1}{512} = 8^{-3} \)

\( \log_{8} 8^{-3} = -3 \)

Постройте график функции \( y = \log_{6} x \) и перечислите его свойства.

График функции \( y = \log_{6} x \):

Свойства логарифмической функции \( y = \log_{a} x \) при \( a > 1 \):

• Область определения: \( x > 0 \)
• Область значений: \( y — любое действительное число \)
• Функция возрастает на всей области определения.
• При \( x = 1 \) значение функции равно 0 (график проходит через точку (1; 0)).
• График пересекает ось \( y \) в точке (0; 1) — это НЕВЕРНО, график НЕ пересекает ось y.
• График пересекает ось \( x \) в точке (1; 0).
• Для любых \( x_1, x_2 > 0 \) выполняется: если \( x_1 < x_2 \), то \( \log_{6} x_1 < \log_{6} x_2 \).

Решите уравнения:

1. a) \( \log_{8} (4 - 2x) = 2 \)

\( 4 - 2x = 8^2 \)

\( 4 - 2x = 64 \)

\( -2x = 60 \)

\( x = -30 \)

Проверка: \( 4 - 2(-30) = 4 + 60 = 64 > 0 \). Решение подходит.

2. б) \( \log_{5} (4 - 3x) = -1 \)

\( 4 - 3x = 5^{-1} \)

\( 4 - 3x = \frac{1}{5} \)

\( 4 - 3x = 0.2 \)

\( -3x = 0.2 - 4 \)

\( -3x = -3.8 \)

\( x = \frac{-3.8}{-3} = \frac{3.8}{3} = \frac{38}{30} = \frac{19}{15} \)

Проверка: \( 4 - 3(\frac{19}{15}) = 4 - \frac{19}{5} = \frac{20-19}{5} = \frac{1}{5} > 0 \). Решение подходит.

3. в) \( \log_{3} (5 - x) + \log_{3} (-1 - x) = 3 \)

ОДЗ: \( 5 - x > 0 \) и \( -1 - x > 0 \). То есть \( x < 5 \) и \( x < -1 \). Следовательно, \( x < -1 \).

\( \log_{3} ((5 - x)(-1 - x)) = 3 \)

\( (5 - x)(-1 - x) = 3^3 \)

\( -5 - 5x + x + x^2 = 27 \)

\( x^2 - 4x - 5 = 27 \)

\( x^2 - 4x - 32 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144 \).

\( x_1 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Учитывая ОДЗ \( x < -1 \), подходит только \( x = -4 \).

Решите неравенства:

1. a) \( \log_{0.5} (2x + 3) < \log_{0.5} (x + 1) \)

Так как основание логарифма \( 0.5 < 1 \), то при переходе от логарифмов к выражениям знак неравенства меняется на противоположный.

\( 2x + 3 > x + 1 \)

\( 2x - x > 1 - 3 \)

\( x > -2 \)

Также учтем ОДЗ: \( 2x + 3 > 0 \) и \( x + 1 > 0 \).

\( 2x > -3 \) → \( x > -1.5 \)

\( x > -1 \)

Объединяя все условия \( x > -2 \), \( x > -1.5 \) и \( x > -1 \), получаем \( x > -1 \).

Критерий оценок:

• 15-16 баллов — «отлично»
• 11-14 баллов — «хорошо»
• 8-10 баллов — «удовлетворительно»

Ответ:

• Вычислить: а) 4; б) -2; в) 2; г) -3.
• График функции \( y = \log_{6} x \): см. выше.
• Свойства: Область определения: \( x > 0 \). Область значений: \( y — любое действительное число \). Функция возрастает. График проходит через (1; 0).
• Решить уравнения: а) \( x = -30 \); б) \( x = \frac{19}{15} \); в) \( x = -4 \).
• Решить неравенства: \( x > -1 \).