Контрольная работа № 5 Вариант І 1. Вычислить: 1) cos 765°; 2) sin\frac{19 π}{6} 2. Вычислить sina, если cos a = \frac{5}{13} и -6π < α < -5π. 3. Упростить выражение: 1) sin (α + β) + sin (α – β); 2) \frac{cos (π – α) + cos (\frac{3π}{2} + α )}{1+2cos(-a) sin(-α)} 4. Решить уравнение: 1) 2cos \frac{x}{2} = 1 + cos x; 2) sin (\frac{π}{2} - 3x) cos 2x-1 = sin 3 x cos (\frac{3π}{2} - 2x). 5. Доказать тождество сos 4x + 1 = \frac{1}{2} sin 4a (ctga - tga). Вариант II 1. Вычислить: 1) sin 765°; 2) cos \frac{19π}{6} 2. Вычислить cosa, если sina = 0,3 и -\frac{7 π}{2} < α < -\frac{5π}{2}. 3. Упростить выражение: 1) cos (α- β) – cos (α + β); 2) \frac{Cos (\frac{3π}{2} - α ) + cos (π + α )}{2 sin (α - \frac{π}{2}) cos(-a) + 1} 4. Решить уравнение: 1) 2sin \frac{x}{2} = 1- cos x; 2) cos (\frac{3π}{2}+x) cos 3x-cos(π – x) sin 3x = -1. 5. Доказать тождество (tga + ctga) (1 - cos 4a) = 4 sin 2α. Задания для подготовки к экзамену 1.6 Доказать тождество \sqrt{\frac{tga - sin a}{tga + sina} }= \frac{1}{sin a} - ctga. 2. 6 Доказать \sqrt{\frac{1 + sinα}{1- sin α} } + \sqrt{\frac{1- sina}{1 + sin α} } = \frac{2}{cos α} при 0 ≤ α < π.

Готов выполнить это задание. Сейчас я разберу каждое задание по порядку, чтобы тебе было понятно, как решать подобные задачи. Уверен, что с моей помощью ты сможешь разобраться в этих темах! Вариант I 1. Вычислить: 1) cos 765° * Сначала определим период косинуса: 360°. * Затем найдем угол, эквивалентный 765° в пределах одного периода: 765° - 2 * 360° = 45°. * cos 765° = cos 45° = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 2) sin \(\frac{19π}{6}\) * Сначала определим период синуса: 2π. * Затем найдем угол, эквивалентный \(\frac{19π}{6}\) в пределах одного периода: \(\frac{19π}{6}\) - 2π = \(\frac{7π}{6}\). * sin \(\frac{19π}{6}\) = sin \(\frac{7π}{6}\) = -\(\frac{1}{2}\) 2. Вычислить sin α, если cos α = \(\frac{5}{13}\) и -6π < α < -5π. * Известно, что sin² α + cos² α = 1. * sin² α = 1 - cos² α = 1 - (\(\frac{5}{13}\))² = 1 - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{144}{169}\). * sin α = ±\(\frac{12}{13}\). * Так как -6π < α < -5π, α находится в III четверти, где синус отрицателен. * sin α = -\(\frac{12}{13}\). 3. Упростить выражение: 1) sin (α + β) + sin (α – β) * Используем формулы синуса суммы и разности: * sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β * sin (α – β) = sin α cos β - cos α sin β * sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α cos β 2) \(\frac{cos (π – α) + cos (\frac{3π}{2} + α )}{1+2cos(-a) sin(-α)}\) * cos (π – α) = -cos α * cos (\(\frac{3π}{2}\) + α ) = sin α * cos(-α) = cos α * sin(-α) = -sin α * Выражение: \(\frac{-cos α + sin α}{1 - 2cos α sin α}\) = \(\frac{-cos α + sin α}{(sin α - cos α)^2}\) = \(\frac{1}{sin α - cos α}\) 4. Решить уравнение: 1) 2cos \(\frac{x}{2}\) = 1 + cos x * Используем формулу cos x = 2cos² \(\frac{x}{2}\) - 1. * 2cos \(\frac{x}{2}\) = 2cos² \(\frac{x}{2}\) * 2cos² \(\frac{x}{2}\) - 2cos \(\frac{x}{2}\) = 0 * 2cos \(\frac{x}{2}\)(cos \(\frac{x}{2}\) - 1) = 0 * cos \(\frac{x}{2}\) = 0 или cos \(\frac{x}{2}\) = 1 * \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{π}{2}\) + πk или \(\frac{x}{2}\) = 2πk * x = π + 2πk или x = 4πk 2) sin (\(\frac{π}{2}\) - 3x) cos 2x - 1 = sin 3x cos (\(\frac{3π}{2}\) - 2x). * sin (\(\frac{π}{2}\) - 3x) = cos 3x * cos (\(\frac{3π}{2}\) - 2x) = -sin 2x * cos 3x cos 2x - 1 = -sin 3x sin 2x * cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x = 1 * cos (3x - 2x) = 1 * cos x = 1 * x = 2πk 5. Доказать тождество cos 4x + 1 = \(\frac{1}{2}\) sin 4x (ctg α - tg α). * ctg x - tg x = \(\frac{cos x}{sin x}\) - \(\frac{sin x}{cos x}\) = \(\frac{cos² x - sin² x}{sin x cos x}\) = \(\frac{cos 2x}{\frac{1}{2} sin 2x}\) = 2ctg 2x * \(\frac{1}{2}\) sin 4x (ctg x - tg x) = \(\frac{1}{2}\) sin 4x * 2ctg 2x = sin 4x ctg 2x = 2 sin 2x cos 2x * \(\frac{cos 2x}{sin 2x}\) = 2cos² 2x = cos 4x + 1 Вариант II 1. Вычислить: 1) sin 765° * Определим период синуса: 360°. * Найдем угол, эквивалентный 765° в пределах одного периода: 765° - 2 * 360° = 45°. * sin 765° = sin 45° = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 2) cos \(\frac{19π}{6}\) * Определим период косинуса: 2π. * Найдем угол, эквивалентный \(\frac{19π}{6}\) в пределах одного периода: \(\frac{19π}{6}\) - 2π = \(\frac{7π}{6}\). * cos \(\frac{19π}{6}\) = cos \(\frac{7π}{6}\) = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 2. Вычислить cos α, если sin α = 0,3 и -\(\frac{7π}{2}\) < α < -\(\frac{5π}{2}\). * cos² α = 1 - sin² α = 1 - (0,3)² = 1 - 0,09 = 0,91. * cos α = ±\(\sqrt{0,91}\). * Так как -\(\frac{7π}{2}\) < α < -\(\frac{5π}{2}\), то α находится во II четверти, где косинус отрицателен. * cos α = -\(\sqrt{0,91}\) ≈ -0,954. 3. Упростить выражение: 1) cos (α - β) – cos (α + β) * Используем формулы косинуса разности и суммы: * cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β * cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β * cos (α - β) – cos (α + β) = 2sin α sin β 2) \(\frac{cos (\frac{3π}{2} - α ) + cos (π + α )}{2 sin (α - \frac{π}{2}) cos(-a) + 1}\) * cos (\(\frac{3π}{2}\) - α) = -sin α * cos (π + α) = -cos α * sin (α - \(\frac{π}{2}\)) = -cos α * cos(-α) = cos α * Выражение: \(\frac{-sin α - cos α}{2 * (-cos α) * cos α + 1}\) = \(\frac{-(sin α + cos α)}{1 - 2cos² α}\) = \(\frac{-(sin α + cos α)}{-cos 2α}\) = \(\frac{sin α + cos α}{cos 2α}\) 4. Решить уравнение: 1) 2sin \(\frac{x}{2}\) = 1 - cos x * Используем формулу cos x = 1 - 2sin² \(\frac{x}{2}\). * 2sin \(\frac{x}{2}\) = 2sin² \(\frac{x}{2}\) * 2sin² \(\frac{x}{2}\) - 2sin \(\frac{x}{2}\) = 0 * 2sin \(\frac{x}{2}\)(sin \(\frac{x}{2}\) - 1) = 0 * sin \(\frac{x}{2}\) = 0 или sin \(\frac{x}{2}\) = 1 * \(\frac{x}{2}\) = πk или \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{π}{2}\) + 2πk * x = 2πk или x = π + 4πk 2) cos (\(\frac{3π}{2}\)+x) cos 3x - cos(π – x) sin 3x = -1. * cos (\(\frac{3π}{2}\) + x) = sin x * cos (π – x) = -cos x * sin x cos 3x + cos x sin 3x = -1 * sin (x + 3x) = -1 * sin 4x = -1 * 4x = \(\frac{3π}{2}\) + 2πk * x = \(\frac{3π}{8}\) + \(\frac{πk}{2}\) 5. Доказать тождество (tg α + ctg α) (1 - cos 4α) = 4 sin 2α. * tg α + ctg α = \(\frac{sin α}{cos α}\) + \(\frac{cos α}{sin α}\) = \(\frac{sin² α + cos² α}{sin α cos α}\) = \(\frac{1}{sin α cos α}\) = \(\frac{2}{sin 2α}\) * (tg α + ctg α) (1 - cos 4α) = \(\frac{2}{sin 2α}\) * (1 - (1 - 2sin² 2α)) = \(\frac{2}{sin 2α}\) * 2sin² 2α = 4 sin 2α Задания для подготовки к экзамену 1.6 Доказать тождество \(\sqrt{\frac{tg α - sin α}{tg α + sin α}}\) = \(\frac{1}{sin α}\) - ctg α. * Преобразуем левую часть: * \(\sqrt{\frac{tg α - sin α}{tg α + sin α}}\) = \(\sqrt{\frac{\frac{sin α}{cos α} - sin α}{\frac{sin α}{cos α} + sin α}}\) = \(\sqrt{\frac{sin α (\frac{1}{cos α} - 1)}{sin α (\frac{1}{cos α} + 1)}}\) = \(\sqrt{\frac{\frac{1}{cos α} - 1}{\frac{1}{cos α} + 1}}\) = \(\sqrt{\frac{1 - cos α}{1 + cos α}}\) * Домножим числитель и знаменатель на (1 - cos α): * \(\sqrt{\frac{(1 - cos α)²}{1 - cos² α}}\) = \(\sqrt{\frac{(1 - cos α)²}{sin² α}}\) = \(\frac{1 - cos α}{sin α}\) = \(\frac{1}{sin α}\) - \(\frac{cos α}{sin α}\) = \(\frac{1}{sin α}\) - ctg α 2. 6 Доказать \(\sqrt{\frac{1 + sin α}{1 - sin α}}\) + \(\sqrt{\frac{1 - sin α}{1 + sin α}}\) = \(\frac{2}{cos α}\) при 0 ≤ α < π. * Приведем к общему знаменателю: * \(\sqrt{\frac{1 + sin α}{1 - sin α}}\) + \(\sqrt{\frac{1 - sin α}{1 + sin α}}\) = \(\frac{\sqrt{(1 + sin α)²} + \sqrt{(1 - sin α)²}}{\sqrt{(1 - sin α)(1 + sin α)}}\) = \(\frac{1 + sin α + 1 - sin α}{\sqrt{1 - sin² α}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{cos² α}}\) = \(\frac{2}{cos α}\) (так как cos α > 0 при 0 ≤ α < π)

Ответ: Решения выше.

Вот и все! Ты отлично справился с разбором этих задач. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться. Удачи в дальнейшем изучении математики!