Контрольная работа № 2 Тема. Степень с натуральным показателем. Одночлены. Многочлены. Сложение и вычитание многочленов 1. Найдите значение выражения 1,5 × 6² - 2². 2. Представьте в виде степени выражение: 1) x⁸ × x²; 3) (x⁸)²; 2) x⁸ : x²; 4) $$\frac{(x^4y^5)^2}{x^{12}}$$. 3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) -3a²b⁴ × 3a² × b⁵; 2) (-4a²b⁶)². 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение (5x² + 6x - 3) - (2x² - 3x - 4). 5. Вычислите: 1) $$\frac{4^6 \cdot 2^9}{32^4}$$; 2) $$(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{8})^6$$. 6. Упростите выражение 125a⁶b³ × (-0,2a²b⁴)³. 7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество (5a³ - 2ab + 6b) - (*) = 4a³ + 8. 8. Докажите, что значение выражения (3n + 16) - (6 - 2n) кратно 5 при любом натуральном значении n. 9. Известно, что 2a²b³ = 9. Найдите значение выражения: 1) -6a²b³; 2) 2a⁴b⁶.

Решение:

1. Найдите значение выражения $$1,5 \cdot 6^2 - 2^2$$.

   $$1,5 \cdot 36 - 4 = 54 - 4 = 50$$

   Ответ: 50

2. Представьте в виде степени выражение:
   1. $$x^8 \cdot x^2 = x^{8+2} = x^{10}$$

      Ответ: $$x^{10}$$

   2. $$x^8 : x^2 = x^{8-2} = x^6$$

      Ответ: $$x^6$$

   3. $$(x^8)^2 = x^{8 \cdot 2} = x^{16}$$

      Ответ: $$x^{16}$$

   4. $$\frac{(x^4y^5)^2}{x^{12}} = \frac{x^{4 \cdot 2}y^{5 \cdot 2}}{x^{12}} = \frac{x^8y^{10}}{x^{12}} = x^{8-12}y^{10} = x^{-4}y^{10} = \frac{y^{10}}{x^4}$$

      Ответ: $$\frac{y^{10}}{x^4}$$

3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
1. $$-3a^2b^4 \cdot 3a^2 \cdot b^5 = -3 \cdot 3 \cdot a^{2+2} \cdot b^{4+5} = -9a^4b^9$$

   Ответ: $$-9a^4b^9$$

2. $$(-4a^2b^6)^2 = (-4)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^6)^2 = 16a^{2 \cdot 2}b^{6 \cdot 2} = 16a^4b^{12}$$

   Ответ: $$16a^4b^{12}$$

4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение $$(5x^2 + 6x - 3) - (2x^2 - 3x - 4)$$.

   $$5x^2 + 6x - 3 - 2x^2 + 3x + 4 = (5x^2 - 2x^2) + (6x + 3x) + (-3 + 4) = 3x^2 + 9x + 1$$

   Ответ: $$3x^2 + 9x + 1$$

5. Вычислите:
1. $$\frac{4^6 \cdot 2^9}{32^4} = \frac{(2^2)^6 \cdot 2^9}{(2^5)^4} = \frac{2^{12} \cdot 2^9}{2^{20}} = \frac{2^{12+9}}{2^{20}} = \frac{2^{21}}{2^{20}} = 2^{21-20} = 2^1 = 2$$

   Ответ: 2

2. $$(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{8})^6 = \frac{2^5}{3^5} \cdot \frac{3^6}{8^6} = \frac{2^5}{3^5} \cdot \frac{3^6}{(2^3)^6} = \frac{2^5}{3^5} \cdot \frac{3^6}{2^{18}} = \frac{2^5 \cdot 3^6}{3^5 \cdot 2^{18}} = \frac{3^{6-5}}{2^{18-5}} = \frac{3^1}{2^{13}} = \frac{3}{8192}$$

   Ответ: $$\frac{3}{8192}$$

6. Упростите выражение $$125a^6b^3 \cdot (-0,2a^2b^4)^3$$.

   $$125a^6b^3 \cdot (-0,2)^3(a^2)^3(b^4)^3 = 125a^6b^3 \cdot (-0,008)a^6b^{12} = -125 \cdot 0,008 \cdot a^{6+6}b^{3+12} = -1 \cdot a^{12}b^{15} = -a^{12}b^{15}$$

   Ответ: $$-a^{12}b^{15}$$

7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество $$(5a^3 - 2ab + 6b) - (*) = 4a^3 + 8$$.

   $$5a^3 - 2ab + 6b - x = 4a^3 + 8$$

   $$x = 5a^3 - 2ab + 6b - 4a^3 - 8$$

   $$x = (5a^3 - 4a^3) - 2ab + 6b - 8$$

   $$x = a^3 - 2ab + 6b - 8$$

   Ответ: $$a^3 - 2ab + 6b - 8$$

8. Докажите, что значение выражения $$(3n + 16) - (6 - 2n)$$ кратно 5 при любом натуральном значении n.

   $$3n + 16 - 6 + 2n = 5n + 10 = 5(n + 2)$$

   Выражение $$5(n + 2)$$ кратно 5 при любом натуральном значении n, так как оно делится на 5 без остатка.

   Ответ: Выражение кратно 5 при любом натуральном значении n.

9. Известно, что $$2a^2b^3 = 9$$. Найдите значение выражения:
   1. $$-6a^2b^3 = -3 \cdot 2a^2b^3 = -3 \cdot 9 = -27$$

      Ответ: -27

   2. $$2a^4b^6 = 2(a^2b^3)^2 = 2 \cdot 9^2 = 2 \cdot 81 = 162$$

      Ответ: 162