Контрольная работа № 3 Тема. Перпендикулярность прямой и плоскости Вариант 1 1. На рисунке 13 изображена трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и ВС. Через вершину В проведена прямая BF, перпендикулярная прямой ВС. Дока- жите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости ABF. 2. Точка F находится на расстоянии 5√3 см от каждой вершины квадрата ABCD, сторона которого равна 10 см. Найдите расстояние от точки F до пло- скости квадрата. Рис. 13 F B C D 3. Через вершину D прямоугольника ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр DE. Точка Е удалена от стороны АВ на 10 см, а от сто- роны ВС — на 17 см. Найдите диагональ прямоугольника, если DE = 8 см. 4. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 120 см и 68 см соответственно. Точка А находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Проек- цией точки А на плоскость треугольника является точка, принадле- жащая этому треугольнику. Найдите расстояние от точки А до пло- скости треугольника.

Задание 1

Чтобы доказать, что прямая BC перпендикулярна плоскости ABF, нужно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

• По условию, AB перпендикулярна BC (так как ABCD - трапеция с боковой стороной AB, перпендикулярной основаниям).
• Также, BF перпендикулярна BC (по условию).
• AB и BF лежат в плоскости ABF и пересекаются в точке B.
• Следовательно, BC перпендикулярна плоскости ABF.

Задание 2

Пусть O - центр квадрата ABCD. Тогда FO - перпендикуляр к плоскости квадрата. Расстояние от F до каждой вершины квадрата равно 5\(\sqrt{3}\) см, а сторона квадрата равна 10 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник FOA, где FA = 5\(\sqrt{3}\) см, AO = \(\frac{1}{2}\)AC, AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{10^2 + 10^2}\) = \(10\sqrt{2}\) см, следовательно, AO = 5\(\sqrt{2}\) см.

По теореме Пифагора, FO = \(\sqrt{FA^2 - AO^2}\) = \(\sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2}\) = \(\sqrt{75 - 50}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 см.

Ответ: 5 см

Задание 3

Пусть ABCD - прямоугольник, DE - перпендикуляр к плоскости ABCD, DE = 8 см. Точка E удалена от стороны AB на 10 см, а от стороны BC - на 17 см. Пусть K и L - основания перпендикуляров, опущенных из точки E на стороны AB и BC соответственно. Тогда EK = 10 см, EL = 17 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DEK. DK = \(\sqrt{DE^2 + EK^2}\) = \(\sqrt{8^2 + 10^2}\) = \(\sqrt{64 + 100}\) = \(\sqrt{164}\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DEL. DL = \(\sqrt{DE^2 + EL^2}\) = \(\sqrt{8^2 + 17^2}\) = \(\sqrt{64 + 289}\) = \(\sqrt{353}\) см.

Так как DK = AB и DL = BC, то AB = \(\sqrt{164}\) см, BC = \(\sqrt{353}\) см.

Диагональ прямоугольника AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{164 + 353}\) = \(\sqrt{517}\) см.

Ответ: \(\sqrt{517}\) см

Задание 4

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC = 68 см, AC = 120 см. Точка A находится на расстоянии 25 см от каждой прямой, содержащей сторону треугольника. Пусть O - проекция точки A на плоскость треугольника. Тогда AO = 25 см.

Так как точка A равноудалена от сторон треугольника, то проекция точки A (точка O) является центром вписанной окружности в треугольник ABC.

Полупериметр треугольника p = \(\frac{AB + BC + AC}{2}\) = \(\frac{68 + 68 + 120}{2}\) = \(\frac{256}{2}\) = 128 см.

Площадь треугольника S = \(\sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\) = \(\sqrt{128(128 - 68)(128 - 68)(128 - 120)}\) = \(\sqrt{128 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 8}\) = \(\sqrt{2^7 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^3}\) = \(\sqrt{2^{14} \cdot 3^2 \cdot 5^2}\) = 2^7 \cdot 3 \cdot 5 = 128 \cdot 15 = 1920 см².

Радиус вписанной окружности r = \(\frac{S}{p}\) = \(\frac{1920}{128}\) = 15 см.

Расстояние от точки A до плоскости треугольника равно AO = 25 см.

Ответ: 25 см