Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа № 5 Тема. Квадратные уравнения. Теорема Виета B-2 1. Решите уравнение: 1) 7x² - 21 = 0; 4) 3x² - 28x + 9 = 0; 2) 5x² + 9x = 0; 5) 2x² - 8x + 11 = 0; 3) x²+x-42 = 0; 6) 16x² - 8x + 1 = 0. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение - числу 8. 3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника. 4. Число -3 является корнем уравнения 2х2 + 7x + c = 0. Найдите значение с и второй корень уравнения.
Ответ:
1. Решите уравнение:
1) Решим уравнение \(7x^2 - 21 = 0\)
Давай решим уравнение:
\[ 7x^2 - 21 = 0 \] \[ 7x^2 = 21 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \pm\sqrt{3} \]Ответ: \(x_1 = \sqrt{3}\), \(x_2 = -\sqrt{3}\)
2) Решим уравнение \(5x^2 + 9x = 0\)
Вынесем x за скобки:
\[ x(5x + 9) = 0 \]Отсюда два решения:
\[ x_1 = 0 \] \[ 5x + 9 = 0 \] \[ 5x = -9 \] \[ x_2 = -\frac{9}{5} = -1.8 \]Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1.8\)
3) Решим уравнение \(x^2 + x - 42 = 0\)
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 13}{2} \] \[ x_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]Ответ: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -7\)
4) Решим уравнение \(3x^2 - 28x + 9 = 0\)
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4(3)(9) = 784 - 108 = 676 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{676}}{2(3)} = \frac{28 \pm 26}{6} \] \[ x_1 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9 \] \[ x_2 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]Ответ: \(x_1 = 9\), \(x_2 = \frac{1}{3}\)
5) Решим уравнение \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(11) = 64 - 88 = -24 \]Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней
6) Решим уравнение \(16x^2 - 8x + 1 = 0\)
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(16)(1) = 64 - 64 = 0 \]Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2(16)} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \]Ответ: \(x = \frac{1}{4}\)
2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна -10, а произведение - числу 8.
Приведённое квадратное уравнение имеет вид:
\[ x^2 + px + q = 0 \]По теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 = -p = -10 \Rightarrow p = 10 \] \[ x_1 \cdot x_2 = q = 8 \]Тогда уравнение:
\[ x^2 + 10x + 8 = 0 \]Ответ: \(x^2 + 10x + 8 = 0\)
3. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\), тогда диагональ равна \(x + 8\), а другая сторона равна \(x + 4\). По теореме Пифагора:
\[ x^2 + (x+4)^2 = (x+8)^2 \] \[ x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 16x + 64 \] \[ x^2 - 8x - 48 = 0 \]Решим квадратное уравнение:
\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256 \] \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{8 \pm 16}{2} \] \[ x_1 = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ x_2 = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]Так как длина стороны не может быть отрицательной, то \(x = 12\). Тогда стороны прямоугольника равны:
\[ x = 12 \] \[ x + 4 = 12 + 4 = 16 \]Ответ: 12 см и 16 см
4. Число -3 является корнем уравнения \(2x^2 + 7x + c = 0\). Найдите значение \(c\) и второй корень уравнения.
Так как -3 является корнем уравнения, то:
\[ 2(-3)^2 + 7(-3) + c = 0 \] \[ 2(9) - 21 + c = 0 \] \[ 18 - 21 + c = 0 \] \[ -3 + c = 0 \] \[ c = 3 \]Тогда уравнение:
\[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]Найдем второй корень уравнения:
Используем дискриминант:
\[ D = 7^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 \] \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-7 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]Ответ: \(c = 3\), второй корень \(x = -\frac{1}{2}\)
Ответ: смотри выше
