Контрольная работа № 4. Соотношение между сторонами и услами треугольника. Вариант № 1. 1. В треугольнике АВС угол А в 4 раза больше угла В, а угол В равен 30°. Найдите углы А и С. Определите вид треугольника 2. В треугольнике МРО угол Р равен 70°, а внешний угол при вершине О равен 125°. Докажите, что треугольник МРО равнобедренный. 3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 16,5 см. Найдите гипотенузу треугольника. 4. Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ, а вершины С и D лежат по одну сторону от неё. Известно, что угол СВА равен углу DAB. Докажите равенство треугольников АСО и BDO, где точка О пересечения сторон ВС и AD.

Ответ: 1. ∠A = 120°, ∠C = 30°, треугольник тупоугольный; 2. Доказательство в решении; 3. Гипотенуза = 11 см; 4. Доказательство в решении.

1. В треугольнике АВС угол А в 4 раза больше угла В, а угол В равен 30°. Найдите углы А и С. Определите вид треугольника.

• Дано: ΔABC, ∠B = 30°, ∠A = 4∠B
• Найти: ∠A, ∠C, вид треугольника

Решение:

• Шаг 1: Найдем угол А:

• Шаг 2: Найдем угол С, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

• Шаг 3: Определим вид треугольника:

Так как один из углов треугольника (∠A) больше 90°, то треугольник ABC является тупоугольным.

2. В треугольнике МРО угол Р равен 70°, а внешний угол при вершине О равен 125°. Докажите, что треугольник МРО равнобедренный.

• Дано: ΔMPO, ∠P = 70°, внешний ∠O = 125°
• Доказать: ΔMPO - равнобедренный

Решение:

• Шаг 1: Найдем угол O, зная, что внешний угол и смежный ему в сумме дают 180°:

• Шаг 2: Найдем угол M, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

• Шаг 3: Сравним углы M и O:

Так как углы при основании треугольника MPO равны, то треугольник MPO является равнобедренным.

3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 16,5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

• Дано: ΔABC - прямоугольный, ∠C = 90°, ∠A = 60°, AB + BC = 16.5 см
• Найти: AB

Решение:

• Шаг 1: Найдем угол B:

• Шаг 2: Обозначим гипотенузу AB = x. Тогда меньший катет BC (лежащий напротив угла 30°) равен половине гипотенузы:

• Шаг 3: Составим уравнение, используя условие, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 16.5 см:

Следовательно, гипотенуза AB равна 11 см.

4. Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ, а вершины С и D лежат по одну сторону от неё. Известно, что угол СВА равен углу DAB. Докажите равенство треугольников АСО и BDO, где точка О - точка пересечения сторон ВС и AD.

• Дано: ΔABC и ΔABD - прямоугольные, AB - общая гипотенуза, C и D лежат по одну сторону от AB, ∠CBA = ∠DAB, O - точка пересечения BC и AD.
• Доказать: ΔACO = ΔBDO

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим углы в треугольниках ABC и ABD:

• Шаг 2: Рассмотрим треугольники ACO и BDO:

Рассмотрим углы ∠CAO и ∠DBO

• Шаг 3: AO = OB , так как ∠CAO = ∠DBO и ∠CBA = ∠DAB, следовательно, ΔAOB равнобедренный.

Вывод: Треугольники ACO и BDO равны по стороне и двум прилежащим углам.