Контрольная работа № 3 по теме "Углы и расстояния" Вариант 1 №1. Из точки А проведены к плоскости а наклонные АЕ и AF, образующие с ней углы 30° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AF на плоскость а, если проекция наклонной АЕ на эту плоскость равна 6 см. № 2. Точка В принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на 43 см. Найдите расстояние от точки В до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна 60°. № 3. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите синус угла, который образует гипотенуза треугольника с этой плоскостью. №4. Концы отрезка, длина которого равна 575 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. №5. Угол между плоскостями треугольников АВС и ABD равен 60° градусов. Найдите CD, если АС=ВС=13 см, АВ=24см, AD=BD=15см.

№1

Логика такая:

• Пусть AE и AF - наклонные к плоскости α.
• Проекции наклонных на плоскость α - AE' и AF' соответственно.
• Угол между AE и плоскостью α равен 30°, а между AF и α равен 60°.
• AE' = 6 см.

Найти AF'.

Разбираемся:

• В прямоугольном треугольнике AEE':

\[\sin 30^\circ = \frac{EE'}{AE} = \frac{1}{2}\] \[EE' = \frac{1}{2}AE\] \[AE' = AE \cdot \cos 30^\circ = AE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \text{ см}\] \[AE = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ см}\]

• В прямоугольном треугольнике AFF':

\[\sin 60^\circ = \frac{FF'}{AF} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[FF' = \frac{\sqrt{3}}{2}AF\] \[AF' = AF \cdot \cos 60^\circ = AF \cdot \frac{1}{2}\] \[AF' = \sqrt{AF^2 - FF'^2} = \sqrt{AF^2 - \frac{3}{4}AF^2} = \sqrt{\frac{1}{4}AF^2} = \frac{1}{2}AF\]

Теперь найдем AF:

\[AF = \frac{FF'}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2FF'}{\sqrt{3}}\]

Используем, что

\[AF' = AF \cdot \cos 60^\circ\]

Тогда:

\[AF' = AF \cdot \frac{1}{2}\]

И

\[FF' = AF \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Разделим FF' на AE', чтобы исключить AF:

\[\frac{FF'}{AE'} = \frac{AF \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{AE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AF}{AE}\]

Отсюда:

\[FF' = \frac{AE' \cdot AF}{AE} = \frac{6 \cdot AF}{4\sqrt{3}} = \frac{3AF}{2\sqrt{3}}\]

Теперь подставим в выражение для AF':

\[AF' = \sqrt{AF^2 - \left(\frac{3AF}{2\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{AF^2 - \frac{9AF^2}{12}} = \sqrt{\frac{3}{12}AF^2} = \frac{AF}{2}\]

Подставим значение AF из выражения:

\[AF = \frac{2AE'}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\]

Получаем:

\[AF' = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}\]

Ответ: Проекция наклонной AF на плоскость а равна 2\sqrt{3} см.

№2

Смотри, тут всё просто:

• Точка B принадлежит одной из граней двугранного угла.
• Расстояние от точки B до другой грани равно 4\sqrt{3} см.
• Двугранный угол равен 60°.

Найти расстояние от точки B до ребра двугранного угла.

Решение:

• Пусть B' - проекция точки B на другую грань двугранного угла.
• Расстояние от точки B до другой грани - это длина отрезка BB', которая равна 4\sqrt{3} см.
• Пусть O - точка на ребре двугранного угла, такая что BO - расстояние от точки B до ребра.
• BOB' - прямоугольный треугольник с углом \(\angle BOB' = 60^\circ\).
• В прямоугольном треугольнике BOB':

\[\sin 60^\circ = \frac{BB'}{BO}\] \[BO = \frac{BB'}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8 \text{ см}\]

Ответ: Расстояние от точки B до ребра двугранного угла равно 8 см.

№3

Смотри, как это работает:

• Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость.
• Эта плоскость образует с плоскостью треугольника угол 60°.

Найти синус угла, который образует гипотенуза треугольника с этой плоскостью.

Решение:

• Пусть ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник, где \(\angle C = 90^\circ\) и AC = BC.
• Через катет AC проведена плоскость α.
• Плоскость α образует с плоскостью треугольника угол 60°.
• Пусть AB' - проекция гипотенузы AB на плоскость α.
• Угол между плоскостью треугольника и плоскостью α - это угол между катетом BC и его проекцией на плоскость α.
• Пусть C' - проекция точки C на плоскость α.
• Тогда угол между плоскостью треугольника и плоскостью α - это угол \(\angle CBC' = 60^\circ\).
• Обозначим угол между гипотенузой AB и плоскостью α как \(θ\). Нужно найти \(\sin θ\).
• \(CC'\) - перпендикуляр к плоскости α.

\[\sin \angle CBC' = \frac{CC'}{BC}\] \[CC' = BC \cdot \sin 60^\circ = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• В прямоугольном треугольнике ACC':

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[2AC^2 = AB^2\] \[AC = BC = \frac{AB}{\sqrt{2}}\]

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный AB, его проекцией AB' и перпендикуляром BB'', опущенным из точки B на плоскость α.
• BB'' = CC'.

\[\sin \theta = \frac{BB''}{AB} = \frac{CC'}{AB} = \frac{BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{AB} = \frac{\frac{AB}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\]

Ответ: Синус угла, который образует гипотенуза треугольника с этой плоскостью, равен \(\frac{\sqrt{6}}{4}\).

№4

Разбираемся:

• Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям.
• Длина отрезка равна 5\sqrt{5} см.
• Расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см.

Найти расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Решение:

• Пусть AB - данный отрезок, где A и B лежат в перпендикулярных плоскостях α и β соответственно.
• Длина отрезка AB равна 5\sqrt{5} см.
• Пусть A' и B' - основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B на линию пересечения плоскостей α и β.
• AA' = 5 см и BB' = 8 см.
• Нужно найти расстояние A'B'.
• AA'B'B - пространственная трапеция, где \(\angle AA'B' = 90^\circ\) и \(\angle BB'A' = 90^\circ\).

Применим теорему Пифагора в трехмерном пространстве:

\[AB^2 = (AA' - BB')^2 + A'B'^2\] \[A'B'^2 = AB^2 - (AA' - BB')^2\] \[A'B' = \sqrt{AB^2 - (AA' - BB')^2}\]

Подставим значения:

\[A'B' = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - (5 - 8)^2} = \sqrt{125 - (-3)^2} = \sqrt{125 - 9} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \text{ см}\]

Ответ: Расстояние между основаниями перпендикуляров равно 2\sqrt{29} см.

№5

Логика такая:

• Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 60°.
• AC = BC = 13 см, AB = 24 см, AD = BD = 15 см.

Найти CD.

Решение:

• Пусть M - середина отрезка AB.
• Тогда CM - медиана и высота в равнобедренном треугольнике ABC.
• Аналогично, DM - медиана и высота в равнобедренном треугольнике ABD.
• Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD - это угол между перпендикулярами CM и DM, то есть \(\angle CMD = 60^\circ\).

Найдем CM и DM:

• В прямоугольном треугольнике AMC:

\[CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]

• В прямоугольном треугольнике AMD:

\[DM = \sqrt{AD^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}\]

В треугольнике CMD известны две стороны и угол между ними. Применим теорему косинусов:

\[CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos \angle CMD\] \[CD^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ\] \[CD^2 = 25 + 81 - 90 \cdot \frac{1}{2} = 106 - 45 = 61\] \[CD = \sqrt{61} \text{ см}\]

Ответ: CD = \(\sqrt{61}\) см.