Контрольная работа №4 по теме: «Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника» Вариант-2 1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 100°. Найти углы треугольника. 2. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А. а) Найти углы треугольника АВС. б) Сравнить стороны АВ и АС. 3. На рисунке: 2 ВАЕ=112°, / DBF=68°, BC=9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС. 4. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне МN, причём / NKP - острый. Докажите, что КР < МP.

1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 100°. Найти углы треугольника.

Логика такая:

• Внешний угол при вершине равен 100°, значит, смежный с ним угол (угол при вершине) равен: 180° - 100° = 80°.
• Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Пусть углы при основании равны x. Тогда: 80° + x + x = 180°.
• Отсюда: 2x = 180° - 80° = 100°.
• x = 100° / 2 = 50°.

Ответ: Углы треугольника: 80°, 50°, 50°.

2. В треугольнике ABC угол C в 2 раза меньше угла B, а угол B на 45° больше угла A. а) Найти углы треугольника ABC. б) Сравнить стороны AB и AC.

Разбираемся:

• Пусть угол A = x, тогда угол B = x + 45°, а угол C = (x + 45°) / 2.
• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: x + (x + 45°) + (x + 45°) / 2 = 180°.
• Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: 2x + 2(x + 45°) + (x + 45°) = 360°.
• Раскроем скобки: 2x + 2x + 90° + x + 45° = 360°.
• Приведем подобные слагаемые: 5x + 135° = 360°.
• 5x = 360° - 135° = 225°.
• x = 225° / 5 = 45°.

Следовательно:

• Угол A = 45°.
• Угол B = 45° + 45° = 90°.
• Угол C = 90° / 2 = 45°.

б) Сравнение сторон AB и AC:

• Так как углы A и C равны, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.
• В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому AC = BC.
• Угол B = 90°, следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
• В прямоугольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Угол B - больший угол, значит, сторона AC (гипотенуза) больше стороны AB (катета).

Ответ: а) Углы треугольника ABC: 45°, 90°, 45°. б) AC > AB.

3. На рисунке: ∠BAE=112°, ∠DBF=68°, BC=9 см. Найдите сторону AC треугольника ABC.

Смотри, тут всё просто:

• Угол BAE является внешним углом треугольника ABC при вершине A. Следовательно, угол BAC = 180° - 112° = 68°.
• Угол DBF является внешним углом треугольника ABC при вершине B. Следовательно, угол ABC = 180° - 68° = 112°.
• Найдем угол ACB: угол ACB = 180° - (68° + 112°) = 180° - 180° = 0°. (Ошибка в условии, такого треугольника не существует)

Если предположить, что угол DBF = 88°, тогда угол ABC = 180° - 88° = 92°.

Найдем угол ACB: угол ACB = 180° - (68° + 92°) = 180° - 160° = 20°.

Теперь, используя теорему синусов:

\[\frac{AC}{sin(B)} = \frac{BC}{sin(A)}\]

\[AC = \frac{BC \cdot sin(B)}{sin(A)} = \frac{9 \cdot sin(92°)}{sin(68°)} \approx \frac{9 \cdot 0.999}{0.927} \approx 9.72\]

Ответ: AC ≈ 9.72 см (при условии, что ∠DBF = 88°).

4. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причём ∠NKP - острый. Докажите, что KP < MP.

Доказательство:

• Так как ∠NKP - острый, то смежный с ним угол ∠MKP - тупой (∠MKP > 90°).
• В треугольнике MKP против большего угла лежит большая сторона.
• ∠MKP > ∠MNP (т.к. ∠NKP - острый).
• Следовательно, MP > KP.

Ответ: KP < MP.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применены теоремы о сумме углов треугольника, внешнем угле и соотношении сторон и углов. Пересмотри вычисления и логику рассуждений.

Уровень Эксперт: Попробуй решить задачу разными способами, чтобы закрепить материал и развить навыки решения геометрических задач.