Контрольная работа № 3 по теме «Подобные треугольники» вариант № 1 1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС 4 АВС соответственно, проведена прямая MN параллельная стороне АС. Найдите длину BN, если ВС = 6 см, MN = 4 см, АС = 12 см. 2. Человек ростом 1,9 м стоит на расстоянии 18 м от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 6 м. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? 3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и КMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NК = 20 см.

1. Рассмотрим треугольник ABC. MN || AC, следовательно, треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Запишем отношение соответствующих сторон подобных треугольников:

$$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{4}{12} = \frac{BN}{6}$$.

Решим пропорцию:

$$BN = \frac{4 \times 6}{12} = 2$$ (см).

Ответ: 2 см.

2. Пусть h - высота, на которой расположен фонарь (в метрах). Тень человека и расстояние от человека до столба образуют подобные треугольники, так как человек стоит вертикально, а столб тоже вертикальный. Запишем пропорцию:

$$\frac{1.9}{6} = \frac{h}{18+6}$$.

$$\frac{1.9}{6} = \frac{h}{24}$$.

$$h = \frac{1.9 \times 24}{6} = 1.9 \times 4 = 7.6$$ (м).

Ответ: 7.6 м.

3. Дано: АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NК = 20 см.

Найдем отношение площадей треугольников ABC и KMN.

Рассмотрим треугольники ABC и KMN.

$$\frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$.

$$\frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$.

$$\frac{AC}{NK} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$.

Так как $$\frac{AB}{KM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{NK}$$, следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику KMN.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = 4/5.

Отношение площадей равно $$\left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}$$.

Ответ: $$\frac{16}{25}$$.