Контрольная работа №2 по теме «Параллельные прямые, сумма углов Вариант 1 треугольника». 1. Дано: а || ь, с - секущая, 21+ 22 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол В равен 35°, CD - высота. Найдите углы треугольника АCD. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника. Вариант 2 1. Дано: a || b, с - секущая, 21-22 = 102° (рис. 3.173). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 = 140° (рис. 3.174). Найти: 24. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 70°, CD - биссектриса. Найдите углы треугольника BCD. 4*. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Вариант 1

1. Дано: a || b, c – секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Обозначим ∠1 = x, тогда ∠2 = 102° - x. Так как ∠1 и ∠2 – внутренние односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей c, то их сумма равна 180°.

Составим уравнение:

$$x + 102° - x = 180°$$

$$2x = 180° - 102°$$

$$2x = 78°$$

$$x = 39°$$

Следовательно, ∠1 = 39°, ∠2 = 102° - 39° = 63°.

∠3 = ∠1 = 39° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c).

∠4 = ∠2 = 63° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c).

∠5 = ∠1 = 39° (как вертикальные с ∠1).

∠6 = ∠2 = 63° (как вертикальные с ∠2).

∠7 = ∠3 = 39° (как вертикальные с ∠3).

∠8 = ∠4 = 63° (как вертикальные с ∠4).

Ответ: ∠1 = 39°, ∠2 = 63°, ∠3 = 39°, ∠4 = 63°, ∠5 = 39°, ∠6 = 63°, ∠7 = 39°, ∠8 = 63°.

2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172). Найти: ∠4.

Решение:

Т.к. ∠1 = ∠2, то BC – биссектриса ∠ABN. ∠3 и ∠ABN – смежные, поэтому ∠ABN = 180° - ∠3 = 180° - 120° = 60°.

Т.к. BC – биссектриса ∠ABN, то ∠2 = ∠ABN / 2 = 60° / 2 = 30°.

∠4 и ∠2 – смежные, поэтому ∠4 = 180° - ∠2 = 180° - 30° = 150°.

Ответ: ∠4 = 150°.

3. Дано: В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 35°, CD – высота. Найти: Углы треугольника ACD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90° - ∠B = 90° - 35° = 55°.

В прямоугольном треугольнике ACD ∠D = 90°, ∠A = 55°, следовательно, ∠ACD = 90° - ∠A = 90° - 55° = 35°.

Ответ: ∠CAD = 55°, ∠ACD = 35°, ∠CDA = 90°.

4*. Дано: Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, одна из сторон больше другой на 12 см. Найти: Стороны треугольника.

Решение:

Возможны два случая:

1. Боковая сторона больше основания на 12 см. Тогда, если основание – x, то боковая сторона – x + 12. Периметр равен x + 2(x + 12) = 45.
2. Основание больше боковой стороны на 12 см. Тогда, если боковая сторона – x, то основание – x + 12. Периметр равен 2x + x + 12 = 45.

Решим первое уравнение:

$$x + 2(x + 12) = 45$$ $$x + 2x + 24 = 45$$ $$3x = 21$$ $$x = 7$$

Основание – 7 см, боковая сторона – 7 + 12 = 19 см. Проверим: 7 + 19 + 19 = 45. Все верно.

Решим второе уравнение:

$$2x + x + 12 = 45$$ $$3x = 33$$ $$x = 11$$Боковая сторона – 11 см, основание – 11 + 12 = 23 см. Проверим: 11 + 11 + 23 = 45. Все верно.

Ответ: 7 см, 19 см, 19 см или 11 см, 11 см, 23 см.

Вариант 2

1. Дано: a || b, c – секущая, ∠1 - ∠2 = 102° (рис. 3.173). Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Обозначим ∠2 = x, тогда ∠1 = 102° + x. Так как ∠1 и ∠2 – внутренние односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей c, то их сумма равна 180°.

Составим уравнение:

$$102° + x + x = 180°$$ $$2x = 180° - 102°$$$$2x = 78°$$

$$x = 39°$$

Следовательно, ∠2 = 39°, ∠1 = 102° + 39° = 141°.

∠3 = ∠1 = 141° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c).

∠4 = ∠2 = 39° (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c).

∠5 = ∠1 = 141° (как вертикальные с ∠1).

∠6 = ∠2 = 39° (как вертикальные с ∠2).

∠7 = ∠3 = 141° (как вертикальные с ∠3).

∠8 = ∠4 = 39° (как вертикальные с ∠4).

Ответ: ∠1 = 141°, ∠2 = 39°, ∠3 = 141°, ∠4 = 39°, ∠5 = 141°, ∠6 = 39°, ∠7 = 141°, ∠8 = 39°.

2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140° (рис. 3.174). Найти: ∠4.

Решение:

Т.к. ∠1 = ∠2, то CD – биссектриса ∠ACB. ∠3 и ∠ACB – смежные, поэтому ∠ACB = 180° - ∠3 = 180° - 140° = 40°.

Т.к. CD – биссектриса ∠ACB, то ∠2 = ∠ACB / 2 = 40° / 2 = 20°.

∠4 и ∠2 – смежные, поэтому ∠4 = 180° - ∠2 = 180° - 20° = 160°.

Ответ: ∠4 = 160°.

3. Дано: В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 70°, CD – биссектриса. Найти: Углы треугольника BCD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90° - ∠A = 90° - 70° = 20°.

Т.к. CD – биссектриса ∠ACB, то ∠BCD = ∠ACB / 2 = 90° / 2 = 45°.

В треугольнике BCD ∠B = 20°, ∠BCD = 45°, следовательно, ∠BDC = 180° - ∠B - ∠BCD = 180° - 20° - 45° = 115°.

Ответ: ∠DBC = 20°, ∠BCD = 45°, ∠BDC = 115°.

4*. Дано: Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, одна из сторон меньше другой на 13 см. Найти: Стороны треугольника.

Решение:

Возможны два случая:

1. Боковая сторона меньше основания на 13 см. Тогда, если боковая сторона – x, то основание – x + 13. Периметр равен x + x + x + 13 = 50.
2. Основание меньше боковой стороны на 13 см. Тогда, если основание – x, то боковая сторона – x + 13. Периметр равен x + 2(x + 13) = 50.

Решим первое уравнение:

$$x + x + x + 13 = 50$$ $$3x = 37$$ $$x = 37/3 = 12,(3)$$Боковая сторона – 12,(3) см, основание – 12,(3) + 13 = 25,(3) см. Проверим: 12,(3) + 12,(3) + 25,(3) = 50. Все верно.

Решим второе уравнение:

$$x + 2(x + 13) = 50$$$$x + 2x + 26 = 50$$$$3x = 24$$

$$x = 8$$

Основание – 8 см, боковая сторона – 8 + 13 = 21 см. Проверим: 8 + 21 + 21 = 50. Все верно.

Ответ: 12,(3) см, 12,(3) см, 25,(3) см или 8 см, 21 см, 21 см.