Контрольная работа №5 по теме «Неравенства» Вариант -2 №1. Решите неравенство: х²-16 ≥0 №2. Решите неравенство используя метод интервалов: (х+11)(x+2)(x-9)<0. №3. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств. {(x + 2)² + (y - 3)² ≥ 36 2x - y ≤ 3

Решение №1:

Давай решим неравенство x² - 16 ≥ 0. Сначала разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

\[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \]

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ (x - 4)(x + 4) ≥ 0 \]

Чтобы решить это неравенство, найдем нули функции (то есть значения x, при которых выражение равно нулю):

x - 4 = 0 => x = 4

x + 4 = 0 => x = -4

Теперь у нас есть две точки: -4 и 4. Отметим их на числовой прямой и рассмотрим знаки выражения на каждом интервале:

• Интервал (-∞, -4): Возьмем x = -5. Тогда (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительное.
• Интервал (-4, 4): Возьмем x = 0. Тогда (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0. Значит, на этом интервале выражение отрицательное.
• Интервал (4, +∞): Возьмем x = 5. Тогда (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительное.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Таким образом, решением неравенства являются интервалы (-∞, -4] и [4, +∞).

Ответ: (-∞, -4] ∪ [4, +∞)

---

Решение №2:

Теперь давай решим неравенство (x + 11)(x + 2)(x - 9) < 0 методом интервалов.

Сначала найдем нули функции:

• x + 11 = 0 => x = -11
• x + 2 = 0 => x = -2
• x - 9 = 0 => x = 9

Теперь у нас есть три точки: -11, -2 и 9. Отметим их на числовой прямой и рассмотрим знаки выражения на каждом интервале:

• Интервал (-∞, -11): Возьмем x = -12. Тогда (-12 + 11)(-12 + 2)(-12 - 9) = (-1)(-10)(-21) = -210 < 0. Значит, на этом интервале выражение отрицательное.
• Интервал (-11, -2): Возьмем x = -3. Тогда (-3 + 11)(-3 + 2)(-3 - 9) = (8)(-1)(-12) = 96 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительное.
• Интервал (-2, 9): Возьмем x = 0. Тогда (0 + 11)(0 + 2)(0 - 9) = (11)(2)(-9) = -198 < 0. Значит, на этом интервале выражение отрицательное.
• Интервал (9, +∞): Возьмем x = 10. Тогда (10 + 11)(10 + 2)(10 - 9) = (21)(12)(1) = 252 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительное.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Таким образом, решением неравенства являются интервалы (-∞, -11) и (-2, 9).

Ответ: (-∞, -11) ∪ (-2, 9)

---

Решение №3:

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

\[\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 3)^2 ≥ 36 \\ 2x - y ≤ 3 \end{cases}\]

Первое неравенство представляет собой внешность круга с центром в точке (-2, 3) и радиусом 6 (включая границу круга), а второе неравенство — полуплоскость, расположенную ниже прямой линии y = 2x - 3 (включая саму прямую).

Для начала нарисуем круг с центром (-2, 3) и радиусом 6.

Затем нарисуем прямую y = 2x - 3. Чтобы её построить, найдем две точки:

• Если x = 0, то y = 2(0) - 3 = -3. Точка (0, -3).
• Если x = 2, то y = 2(2) - 3 = 1. Точка (2, 1).

Теперь надо определить, какая полуплоскость является решением. Для этого возьмем точку (0, 0) и подставим её во второе неравенство:

2(0) - 0 ≤ 3

0 ≤ 3

Это верно, поэтому полуплоскость, содержащая точку (0, 0), является решением второго неравенства.

Изобразите эту область на координатной плоскости. Решением системы будет пересечение внешности круга и полуплоскости.

Ответ: Множество решений – это пересечение внешности круга (x + 2)² + (y - 3)² ≥ 36 и полуплоскости 2x - y ≤ 3.

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!