Контрольная работа №2 по геометрии по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей. Углы между прямыми и плоскостями» Вариант 2 1. Через середину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр EN, равный 2/5 см. АС = ВС = 8 см, ∠C = 90°. Вычислите: а) расстояние от точки № до прямой АС; б) площади треугольника ACN и его проекции на плоскость данного треугольника; в) расстояние между прямыми EN и ВС.

Решение:

а) Расстояние от точки N до прямой AC

Так как EN перпендикулярна плоскости ABC, то EN перпендикулярна AC. Пусть K – середина AC, тогда NK – медиана и высота в треугольнике ANC. Расстояние от N до AC – это длина NK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EKC. EK = 1/2 AB (так как E – середина AB). По теореме Пифагора для треугольника ABC:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\]

Следовательно, EK = 4√2 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ENK. По теореме Пифагора:

\[NK = \sqrt{EN^2 + EK^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{20 + 32} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Таким образом, расстояние от точки N до прямой AC равно 2√13 см.

б) Площади треугольника ACN и его проекции на плоскость данного треугольника

Площадь треугольника ACN:

AC = 8 см, NK = 2√13 см (высота к AC)

\[S_{ACN} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13}\]

Площадь треугольника ACN равна 8√13 см².

Проекция треугольника ACN на плоскость ABC – это треугольник ACK, так как N проецируется в E, а E – середина AB, K – середина AC.

Площадь треугольника ACK:

\[S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16\]

Площадь треугольника ACK равна 16 см².

в) Расстояние между прямыми EN и BC

Прямые EN и BC – скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра.

Так как EN перпендикулярна плоскости ABC, нужно найти расстояние от точки E до прямой BC.

Пусть L – середина BC, тогда EL – медиана и высота в треугольнике EBC. EL перпендикулярна BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EBL. BL = 4 см.

EL – искомое расстояние.

Найдем EL. EB = 4√2 см (половина AB).

По теореме Пифагора для треугольника EBL:

\[EL = \sqrt{EB^2 - BL^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4\]

Расстояние между прямыми EN и BC равно 4 см.