Контрольная работа. 8 класс. Квадратные и дробно-рациональные уравнения. 1 вариант. 1. Решите уравнения: a) 2x²+7x+9=0 б) 3x²=18x в) х²-16х+63=0 г) \frac{x²}{x²-9} = \frac{12-x}{x²-9} д)х4+3х2-4=0 2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24см². 3. В уравнении х² + px -18 = 0 один из корней равен – 9. Найдите другой корень и коэффициент р. 4. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Решение заданий контрольной работы:

1. Решите уравнения:

1. a) 2x²+7x+9=0
   Решение квадратного уравнения

   Для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, используем дискриминант D = b² - 4ac.

   В нашем случае a = 2, b = 7, c = 9.

   D = 7² - 4 * 2 * 9 = 49 - 72 = -23

   Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

2. б) 3x²=18x
   Решение уравнения

   3x² - 18x = 0

   3x(x - 6) = 0

   Отсюда, x = 0 или x = 6.

   Ответ: x = 0, x = 6

3. в) x²-16x+63=0
   Решение квадратного уравнения

   Ищем корни через дискриминант: D = b² - 4ac = (-16)² - 4 * 1 * 63 = 256 - 252 = 4

   x₁ = (16 + √4) / 2 = (16 + 2) / 2 = 9

   x₂ = (16 - √4) / 2 = (16 - 2) / 2 = 7

   Ответ: x = 9, x = 7

4. г) \(\frac{x²}{x²-9} = \frac{12-x}{x²-9}\)
   Решение дробно-рационального уравнения

   Область определения: x ≠ ±3

   x² = 12 - x

   x² + x - 12 = 0

   D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

   x₁ = (-1 + √49) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 3 (не подходит из-за области определения)

   x₂ = (-1 - √49) / 2 = (-1 - 7) / 2 = -4

   Ответ: x = -4

5. д) x⁴+3x²-4=0
   Решение биквадратного уравнения

   Пусть y = x², тогда уравнение принимает вид: y² + 3y - 4 = 0

   D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

   y₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1

   y₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -4

   Теперь находим x:

   x² = 1 → x = ±1

   x² = -4 → нет действительных корней

   Ответ: x = ±1

2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24 см².

Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.

3. В уравнении x² + px - 18 = 0 один из корней равен – 9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Ответ: Другой корень равен 2, коэффициент p = 7.

4. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Ответ: Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные корни уравнений соответствуют исходным уравнениям, а стороны прямоугольника и скорость течения реки имеют разумные значения.

Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяйте дискриминант и подставляйте корни в исходное уравнение, чтобы избежать ошибок и убедиться в правильности решения!