Контрольная работа № 4 ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Вариант 1 1. Вкладчик положил в банк 20 000 р. под 6% годовых. Сколько денег будет на его счета через 2 года? 2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа - числом 0,16. 6 3. Сколько трехзначных чисел, все цифры которого различны, можно записать с помощью цифр 0. 2, 7 и 8? 4. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных: 7, 5, 4, 6, 4, 3, 8, 5, 4, 2. 5. В коробке лежат 20 карточек, пронумерованных числами от 1 до 20. какова вероятность того, что на карточке, взятой наугад, будет записано число, которое: 1) кратно числу 4; 2) не кратно ни числуг, ни числу 5. 6. Имеются два металлических сплава, один из которых содержит 30% меди, а второй - 70% меди. Сколько килограммов каждого из них надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего 40% меди? 7. Цена некоторого товара сначала повысилась на 30%, а затем снизилась на 20%. Как и на сколько процентов изменилась цена вследствие этих двух переоценок? 8. В коробке лежали шары, из которых 18 - зеленые, а остальные - желтые. Сколько желтых шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар является желтым, равна 3 9. Число 5 составляет от положительного числа х столько же процентов, сколько число х составляет от числа 80. Найдите число х.

1. Вклад в банке

Сумма на счете через 2 года рассчитывается по формуле сложных процентов:

\[ A = P(1 + \frac{r}{100})^n \]

где:

• A - сумма на счете через 2 года,
• P - первоначальный вклад (20 000 р.),
• r - годовая процентная ставка (6%),
• n - количество лет (2).

Шаг 1: Подставляем значения в формулу: \[ A = 20000(1 + \frac{6}{100})^2 \] Шаг 2: Вычисляем: \[ A = 20000(1 + 0.06)^2 \] \[ A = 20000(1.06)^2 \] \[ A = 20000 \cdot 1.1236 \] \[ A = 22472 \]

Таким образом, сумма на счете через 2 года составит 22472 рубля.

Ответ: 22472

2. Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность приближения - это модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.

Шаг 1: Вычисляем точное значение числа:

\[ \frac{1}{6} = 0.166666... \]

Шаг 2: Находим абсолютную погрешность: \[ |0.166666... - 0.16| = 0.006666... \]

Округляем до, например, 0.0067.

Ответ: 0.0067

3. Трехзначные числа

Нужно составить трехзначные числа из цифр 0, 2, 7 и 8 так, чтобы все цифры были различны. Важно помнить, что на первом месте не может стоять 0.

Шаг 1: Определяем количество вариантов для первой цифры (сотни). Это может быть 2, 7 или 8 (3 варианта).

Шаг 2: Для второй цифры (десятки) остается 3 варианта (0 и две оставшиеся цифры).

Шаг 3: Для третьей цифры (единицы) остается 2 варианта (две оставшиеся цифры).

Шаг 4: Перемножаем количество вариантов: 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18.

Ответ: 18

4. Статистические характеристики

Для набора данных 7, 5, 4, 6, 4, 3, 8, 5, 4, 2 найдем среднее значение, моду, медиану и размах.

Шаг 1: Упорядочиваем набор данных: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Шаг 2: Среднее значение: \[ \frac{2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \]

Шаг 3: Мода - наиболее часто встречающееся значение: 4 (встречается 3 раза).

Шаг 4: Медиана - среднее значение между 5-м и 6-м элементом (так как всего 10 элементов): \[ \frac{4 + 5}{2} = 4.5 \]

Шаг 5: Размах - разница между максимальным и минимальным значениями: 8 - 2 = 6.

• Среднее значение: 4.8
• Мода: 4
• Медиана: 4.5
• Размах: 6

5. Вероятность на карточках

В коробке 20 карточек с числами от 1 до 20. Найдем вероятности.

1) Число кратно 4:

Числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20 (5 чисел). Вероятность: \[ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

2) Число не кратно ни 2, ни 5:

Числа, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 (10 чисел). Числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20 (4 числа). Числа, кратные и 2, и 5 (кратные 10): 10, 20 (2 числа). Всего чисел, кратных 2 или 5: 10 + 4 - 2 = 12. Чисел, не кратных ни 2, ни 5: 20 - 12 = 8. Вероятность: \[ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4 \]

6. Сплавы

Пусть x кг первого сплава (30% меди) и y кг второго сплава (70% меди) нужно взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего 40% меди.

Шаг 1: Составляем систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 120 \\ 0.3x + 0.7y = 0.4 \cdot 120 \end{cases}\]

Шаг 2: Решаем систему уравнений: Из первого уравнения: x = 120 - y. Подставляем во второе уравнение: 0.3(120 - y) + 0.7y = 48 36 - 0.3y + 0.7y = 48 0.4y = 12 y = 30 x = 120 - 30 = 90

Таким образом, нужно взять 90 кг первого сплава и 30 кг второго сплава.

Ответ: 90 кг и 30 кг

7. Изменение цены товара

Пусть первоначальная цена товара была P.

Шаг 1: После повышения на 30% цена стала: 1.3P.

Шаг 2: После снижения на 20% новая цена стала: 1.3P ⋅ 0.8 = 1.04P.

Шаг 3: Изменение цены в процентах: (1.04P - P) / P ⋅ 100% = 0.04 ⋅ 100% = 4%.

Таким образом, цена увеличилась на 4%.

Ответ: увеличилась на 4%

8. Шары в коробке

Пусть в коробке x желтых шаров. Всего шаров: 18 + x.

Вероятность вытащить желтый шар равна 3/8.

Составляем уравнение:

\[ \frac{x}{18 + x} = \frac{3}{8} \]

Решаем уравнение:

8x = 3(18 + x)

8x = 54 + 3x

5x = 54

x = 10.8

Так как количество шаров должно быть целым числом, округляем до 11.

Ответ: 11

9. Пропорции с числом

Задано, что число 5 составляет от x столько же процентов, сколько x составляет от 80.

Составляем пропорцию:

\[ \frac{5}{x} = \frac{x}{80} \]

Решаем уравнение:

x^2 = 5 ⋅ 80

x^2 = 400

x = 20

Ответ: 20