Контрольная работа №4 «Длина окружности и площадь круга» Вариант 2. 1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 12 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. 2. Найдите длину окружности, если площадь правильного вписанного в нее четырехугольника равна 36 дм². 3. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 5см и 9см. 4. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга 6 см 5. Найдите площадь круга, если периметр вписанного в неё квадрата равна 48см.

1. Периметр правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 12 дм. Нужно найти сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

• Шаг 1: Найдем сторону шестиугольника.

Периметр шестиугольника равен 12 дм, значит, сторона шестиугольника равна: \[a_6 = \frac{P}{6} = \frac{12}{6} = 2 \text{ дм}\]

• Шаг 2: Найдем радиус окружности.

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности: \[R = a_6 = 2 \text{ дм}\]

• Шаг 3: Найдем сторону треугольника.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна: \[a_3 = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}\]

Ответ: \(2\sqrt{3}\) дм

2. Длина окружности

Площадь правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность, равна 36 дм². Нужно найти длину окружности.

• Шаг 1: Найдем сторону квадрата.

Площадь квадрата равна 36 дм², значит, сторона квадрата равна: \[a_4 = \sqrt{S} = \sqrt{36} = 6 \text{ дм}\]

• Шаг 2: Найдем радиус окружности.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата: \[R = \frac{d}{2} = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ дм}\]

• Шаг 3: Найдем длину окружности.

Длина окружности равна: \[C = 2\pi R = 2\pi (3\sqrt{2}) = 6\pi\sqrt{2} \text{ дм}\]

Ответ: \(6\pi\sqrt{2}\) дм

3. Площадь кольца

Нужно найти площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 5 см и 9 см.

• Шаг 1: Найдем площадь большего круга.

Площадь большего круга равна: \[S_1 = \pi R_1^2 = \pi (9^2) = 81\pi \text{ см}^2\]

• Шаг 2: Найдем площадь меньшего круга.

Площадь меньшего круга равна: \[S_2 = \pi R_2^2 = \pi (5^2) = 25\pi \text{ см}^2\]

• Шаг 3: Найдем площадь кольца.

Площадь кольца равна разности площадей большего и меньшего кругов: \[S = S_1 - S_2 = 81\pi - 25\pi = 56\pi \text{ см}^2\]

Ответ: \(56\pi\) см²

4. Площадь кругового сектора

Нужно найти площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга 6 см.

• Шаг 1: Найдем площадь круга.

Площадь круга равна: \[S = \pi R^2 = \pi (6^2) = 36\pi \text{ см}^2\]

• Шаг 2: Найдем площадь кругового сектора.

Площадь кругового сектора равна: \[S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ}S = \frac{120^\circ}{360^\circ} (36\pi) = \frac{1}{3} (36\pi) = 12\pi \text{ см}^2\]

Ответ: \(12\pi\) см²

5. Площадь круга

Периметр квадрата, вписанного в круг, равен 48 см. Нужно найти площадь круга.

• Шаг 1: Найдем сторону квадрата.

Периметр квадрата равен 48 см, значит, сторона квадрата равна: \[a = \frac{P}{4} = \frac{48}{4} = 12 \text{ см}\]

• Шаг 2: Найдем диагональ квадрата.

Диагональ квадрата равна: \[d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ см}\]

• Шаг 3: Найдем радиус круга.

Радиус круга, описанного около квадрата, равен половине диагонали квадрата: \[R = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}\]

• Шаг 4: Найдем площадь круга.

Площадь круга равна: \[S = \pi R^2 = \pi (6\sqrt{2})^2 = \pi (36 \cdot 2) = 72\pi \text{ см}^2\]

Ответ: \(72\pi\) см²