Контрольная работа № 3 Декартовы координаты Вариант 1 1. Найдите длину отрезка ВС и координаты его середины, если В (-2; 5) и С (4; 1). 2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке А (-1; 2) и которая проходит через точку М (1; 7). 3. Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если A (3; -2), C (9; 8), D (-4; −5). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 1) и B (-2; 13).

Решение:

1. Найдите длину отрезка BC и координаты его середины, если B(-2; 5) и C(4; 1).

   Длина отрезка BC находится по формуле: $$BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

   Подставляем координаты точек B и C: $$BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

   Координаты середины отрезка BC находятся по формулам: $$x_с = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_с = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

   Подставляем координаты точек B и C: $$x_с = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1, y_с = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   Ответ: Длина отрезка $$BC = 2\sqrt{13}$$. Координаты середины отрезка BC: (1; 3).

2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке A(-1; 2) и которая проходит через точку M(1; 7).

   Уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a; b) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.

   Координаты центра окружности известны: A(-1; 2), следовательно, a = -1, b = 2.

   Радиус окружности равен расстоянию между центром A и точкой M, через которую проходит окружность: $$R = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$$

   Подставляем координаты точек A и M: $$R = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

   Подставляем значения a, b и R в уравнение окружности: $$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{29})^2$$

   Ответ: Уравнение окружности: $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29$$

3. Найдите координаты вершины B параллелограмма ABCD, если A(3; -2), C(9; 8), D(-4; -5).

   В параллелограмме середины диагоналей совпадают. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда координаты точки O можно найти как середину отрезка AC: $$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}, y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$$

   Подставляем координаты точек A и C: $$x_O = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6, y_O = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   Теперь, зная координаты точки O и координаты точки D, можно найти координаты точки B: $$x_O = \frac{x_B + x_D}{2}, y_O = \frac{y_B + y_D}{2}$$

   Выражаем координаты точки B: $$x_B = 2x_O - x_D, y_B = 2y_O - y_D$$

   Подставляем значения: $$x_B = 2 \cdot 6 - (-4) = 12 + 4 = 16, y_B = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$$

   Ответ: Координаты вершины B: (16; 11).

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 1) и B(-2; 13).

   Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид: $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

   Подставляем координаты точек A и B: $$\frac{y - 1}{13 - 1} = \frac{x - 1}{-2 - 1}$$

   Упрощаем: $$\frac{y - 1}{12} = \frac{x - 1}{-3}$$

   Умножаем обе части на 12: $$y - 1 = -4(x - 1)$$

   Раскрываем скобки: $$y - 1 = -4x + 4$$

   Выражаем y: $$y = -4x + 5$$

   Ответ: Уравнение прямой: $$y = -4x + 5$$