Контрольная работа № 5 Арифметическая и геометрическая прогрессии Вариант 1 •1 Последовательность задана формулой п-го члена: ап = n(n + 1). а) Запишите первые 3 члена этой последовательности; найди- те а100-. б) Является ли членом этой последовательности число 132? 02 Одна из двух данных последовательностей является арифметиче- ской прогрессией, другая - геометрической прогрессией: (x): 12; 8; 4; ...; (yn): -32; -16; -8; ....

Задание 1:

Последовательность задана формулой \[ a_n = n(n + 1) \]

а) Найдем первые 3 члена последовательности и \[ a_{100} \]:

• Для n = 1: \[ a_1 = 1(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \]
• Для n = 2: \[ a_2 = 2(2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \]
• Для n = 3: \[ a_3 = 3(3 + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \]
• Для n = 100: \[ a_{100} = 100(100 + 1) = 100 \cdot 101 = 10100 \]

б) Проверим, является ли число 132 членом этой последовательности:

Решим уравнение \[ n(n + 1) = 132 \]

\[ n^2 + n - 132 = 0 \]

Дискриминант \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 \]

\[ n_1 = \frac{-1 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ n_2 = \frac{-1 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как n должно быть натуральным числом, n = 11 является решением. Следовательно, число 132 является членом этой последовательности.

Задание 2:

Даны две последовательности:

\[ (x_n): 12; 8; 4; ... \]

\[ (y_n): -32; -16; -8; ... \]

а) Продолжим каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена:

Для \[ (x_n) \]: это арифметическая прогрессия с разностью d = 8 - 12 = -4.

• Следующий член: 4 + (-4) = 0
• Затем: 0 + (-4) = -4
• И ещё: -4 + (-4) = -8
• Получаем: 12; 8; 4; 0; -4; -8; ...

Для \[ (y_n) \]: это геометрическая прогрессия со знаменателем q = -16 / -32 = 1/2.

• Следующий член: -8 \cdot (1/2) = -4
• Затем: -4 \cdot (1/2) = -2
• И ещё: -2 \cdot (1/2) = -1
• Получаем: -32; -16; -8; -4; -2; -1; ...

б) Найдем 12-й член геометрической прогрессии \[ (y_n) \]:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

В нашем случае: \[ b_1 = -32, q = \frac{1}{2}, n = 12 \]

\[ b_{12} = -32 \cdot (\frac{1}{2})^{12-1} = -32 \cdot (\frac{1}{2})^{11} = -32 \cdot \frac{1}{2048} = -\frac{32}{2048} = -\frac{1}{64} \]