Контрольная работа № 4. Соотношения сторов и углов & ВАРИАНТ З Часть 1 Запишите номера верных ответов к заданию 1. 1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) ΔΜΝΚ - прямоугольный. 2) ΔΜΝΚ — равнобедренный. 8) 41 - внешний угол треугольника MNK. 4) 22 - внешний угол треугольника ММК. Часть 2 Запишите ответ к заданию 2. 2. ВН - высота равнобедренного прямоугольного тре угольника АВС, проведенная к гипотенузе. Найдите углы треугольника АВН. Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 8-5. 3. Докажите, что если на рисунке АС и BD - перпенди куляры к прямой CD и AD-BC, Το AACD - ABDC. 4. Найдите углы R и S треугольника PRS, если ZP-84°, а ZR в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S. 5*. Прямая ОМ, параллельная боковой стороне АС тре угольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках О и М. Докажите, что ДВОМ - равнобедренный.

Часть 1

1. Используя данные на рисунке, укажите номера верных утверждений:

• 1) ΔMNK - прямоугольный. Угол M равен 81°, угол K равен 18°, следовательно, угол N равен 180° - (81° + 18°) = 81°. Так как углы M и N равны, треугольник MNK не является прямоугольным.
• 2) ΔMNK — равнобедренный. Так как угол M равен углу N (оба по 81°), треугольник MNK является равнобедренным.
• 3) ∠1 - внешний угол треугольника MNK. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним. В данном случае, ∠1 является внешним углом при вершине M.
• 4) ∠2 - внешний угол треугольника MNK. ∠2 не является внешним углом треугольника MNK, так как он не является смежным ни с одним из углов треугольника.

Ответ: 2, 3

Часть 2

2. BH - высота равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Найдите углы треугольника ABH.

Краткая запись:

• ΔABC - равнобедренный, прямоугольный
• BH - высота к гипотенузе AC
• Найти: углы ΔABH

Решение:

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°. ∠A = ∠C = 45°
• Так как BH - высота, ∠BHA = 90°
• В ΔABH: ∠A = 45°, ∠BHA = 90°, тогда ∠ABH = 180° - (90° + 45°) = 45°

Ответ: ∠A = 45°, ∠ABH = 45°, ∠BHA = 90°

Часть 3

3. Докажите, что если на рисунке AC и BD - перпендикуляры к прямой CD и AD = BC, то ΔACD = ΔBDC.

Доказательство:

• AC и BD - перпендикуляры к CD, следовательно, ∠ACD = ∠BDC = 90°
• AD = BC (по условию)
• CD - общая сторона
• ΔACD и ΔBDC - прямоугольные треугольники
• По двум катетам (AC = BD как соответственные стороны равных треугольников) ΔACD = ΔBDC
• Что и требовалось доказать.

4. Найдите углы R и S треугольника PRS, если ∠P = 84°, а ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S.

Решение:

• Пусть внешний угол при вершине S равен x, тогда ∠R = x/4.
• Внутренний угол S = 180° - x
• Сумма углов треугольника PRS равна 180°: ∠P + ∠R + ∠S = 180°
• 84° + x/4 + (180° - x) = 180°
• x/4 - x = -84°
• -3x/4 = -84°
• x = (-84°) * (-4/3) = 112°
• ∠R = 112°/4 = 28°
• ∠S = 180° - 112° = 68°

Ответ: ∠R = 28°, ∠S = 68°

5*. Прямая ОМ, параллельная боковой стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках О и М. Докажите, что ΔВОМ - равнобедренный.

Доказательство:

• Так как ОМ || АС, то ∠BOM = ∠BAC и ∠BMO = ∠BCA (как соответственные углы при параллельных прямых ОМ и АС и секущих АВ и ВС).
• По условию, треугольник ABC - равнобедренный, значит, ∠BAC = ∠BCA.
• Следовательно, ∠BOM = ∠BMO.
• В треугольнике BOM углы при основании BO равны, значит, он равнобедренный.
• Что и требовалось доказать.