Контрольная работа № 4 1. Решить квадратное уравнение: 1) 25x² = 16; 3) 15x²+11x + 2 = 0; [1) 81x2 = 49; 3) 6x²+7x-3=0; 2) 7x23x= 0; 4) 3x²-11x+15=0 2) 5x²+2x = 0; 4) 5x210x + 17 = 0]. 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен: 1) x²+17x-18; [1) x²- 20x - 21; 2) 5x213x-6 2) 3x²+x-10]. 3. Одна сторона комнаты на 2 м больше другой. Найти длины сторон, если площадь комнаты 8 м². [Площадь прямоугольного участка земли составляет 720 м². Найти длину и ширину участка, если ширина на 16 м меньше длины.] 4. Решить систему уравнений [x² + y² = 58, x²+ y² = 41, xy = 20 xy = 21 5. Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по её течению, затратив на всё путеше- ствие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде 30 км. Найти соб- ственную скорость байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч. [Лодка проплыла 21 км по течению реки и 6 км против течения за то же время, какое понадобилось бы плоту, чтобы проплыть 10 км. Зная, что скорость лодки в сто- ячей воде равна 5 км/ч, найти скорость течения реки.]

1. Решить квадратное уравнение:

1) 25x² = 16

Давай решим это уравнение. Сначала перенесем все в одну сторону:

\[ 25x^2 - 16 = 0 \]

Это разность квадратов, поэтому разложим на множители:

\[ (5x - 4)(5x + 4) = 0 \]

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

\[ 5x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 4 = 0 \]

Решим каждое уравнение:

\[ 5x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{5} = 0.8 \] \[ 5x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{5} = -0.8 \]

Ответ: x = 0.8, x = -0.8

2) 7x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

\[ x(7x - 3) = 0 \]

Приравняем каждый множитель к нулю:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 7x - 3 = 0 \]

Решим второе уравнение:

\[ 7x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{7} \]

Ответ: x = 0, x = 3/7

3) 15x² + 11x + 2 = 0

Решим через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 - 120 = 1 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 15} = \frac{-11 \pm 1}{30} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-11 + 1}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-11 - 1}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5} \]

Ответ: x = -1/3, x = -2/5

4) 3x² - 11x + 15 = 0

Решим через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 121 - 180 = -59 \]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

[1) 81x² = 49]

Давай решим это уравнение. Сначала перенесем все в одну сторону:

\[ 81x^2 - 49 = 0 \]

Это разность квадратов, поэтому разложим на множители:

\[ (9x - 7)(9x + 7) = 0 \]

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

\[ 9x - 7 = 0 \quad \text{или} \quad 9x + 7 = 0 \]

Решим каждое уравнение:

\[ 9x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{9} \] \[ 9x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{9} \]

Ответ: x = 7/9, x = -7/9

3) 6x² + 7x - 3 = 0

Решим через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 11}{12} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \]

Ответ: x = 1/3, x = -3/2

4) 5x² - 10x + 17 = 0

Решим через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 17 = 100 - 340 = -240 \]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

2) 5x² + 2x = 0

Вынесем x за скобки:

\[ x(5x + 2) = 0 \]

Приравняем каждый множитель к нулю:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 2 = 0 \]

Решим второе уравнение:

\[ 5x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{5} \]

Ответ: x = 0, x = -2/5

2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) x² + 17x - 18

Найдем корни уравнения x² + 17x - 18 = 0 через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm 19}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-17 + 19}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-17 - 19}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \]

Тогда разложение на множители:

\[ x^2 + 17x - 18 = (x - 1)(x + 18) \]

Ответ: (x - 1)(x + 18)

[1) x² - 20x - 21]

Найдем корни уравнения x² - 20x - 21 = 0 через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 400 + 84 = 484 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 22}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] \[ x_2 = \frac{20 - 22}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Тогда разложение на множители:

\[ x^2 - 20x - 21 = (x - 21)(x + 1) \]

Ответ: (x - 21)(x + 1)

2) 5x² - 13x - 6

Найдем корни уравнения 5x² - 13x - 6 = 0 через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{13 \pm 17}{10} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{13 + 17}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] \[ x_2 = \frac{13 - 17}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5} \]

Тогда разложение на множители:

\[ 5x^2 - 13x - 6 = 5(x - 3)(x + \frac{2}{5}) = (x - 3)(5x + 2) \]

Ответ: (x - 3)(5x + 2)

2) 3x² + x - 10

Найдем корни уравнения 3x² + x - 10 = 0 через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 11}{6} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-1 + 11}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 11}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

Тогда разложение на множители:

\[ 3x^2 + x - 10 = 3(x - \frac{5}{3})(x + 2) = (3x - 5)(x + 2) \]

Ответ: (3x - 5)(x + 2)

3. Одна сторона комнаты на 2 м больше другой. Найти длины сторон, если площадь комнаты 8 м².

Пусть x - меньшая сторона, тогда x + 2 - большая сторона. Площадь комнаты равна 8 м².

Составим уравнение:

\[ x(x + 2) = 8 \] \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Так как длина не может быть отрицательной, то x = 2 м.

Тогда большая сторона x + 2 = 2 + 2 = 4 м.

Ответ: 2 м и 4 м

[Площадь прямоугольного участка земли составляет 720 м². Найти длину и ширину участка, если ширина на 16 м меньше длины.]

Пусть x - длина участка, тогда x - 16 - ширина участка. Площадь участка равна 720 м².

Составим уравнение:

\[ x(x - 16) = 720 \] \[ x^2 - 16x - 720 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-720) = 256 + 2880 = 3136 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{3136}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 56}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{16 + 56}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ x_2 = \frac{16 - 56}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Так как длина не может быть отрицательной, то x = 36 м.

Тогда ширина x - 16 = 36 - 16 = 20 м.

Ответ: длина - 36 м, ширина - 20 м

4. Решить систему уравнений

[x² + y² = 58, xy = 21]

Из второго уравнения выразим y через x:

\[ y = \frac{21}{x} \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x^2 + (\frac{21}{x})^2 = 58 \] \[ x^2 + \frac{441}{x^2} = 58 \]

Умножим обе части уравнения на x²:

\[ x^4 + 441 = 58x^2 \] \[ x^4 - 58x^2 + 441 = 0 \]

Введем замену t = x²:

\[ t^2 - 58t + 441 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно t:

\[ D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 441 = 3364 - 1764 = 1600 \] \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{58 \pm 40}{2} \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{58 + 40}{2} = \frac{98}{2} = 49 \] \[ t_2 = \frac{58 - 40}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Вернемся к переменной x:

\[ x^2 = 49 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 7 \] \[ x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 \]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 7, то y = 21/7 = 3.

Если x = -7, то y = 21/(-7) = -3.

Если x = 3, то y = 21/3 = 7.

Если x = -3, то y = 21/(-3) = -7.

Ответ: (7, 3), (-7, -3), (3, 7), (-3, -7)

[x² + y² = 41, xy = 20]

Из второго уравнения выразим y через x:

\[ y = \frac{20}{x} \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x^2 + (\frac{20}{x})^2 = 41 \] \[ x^2 + \frac{400}{x^2} = 41 \]

Умножим обе части уравнения на x²:

\[ x^4 + 400 = 41x^2 \] \[ x^4 - 41x^2 + 400 = 0 \]

Введем замену t = x²:

\[ t^2 - 41t + 400 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно t:

\[ D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81 \] \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{41 \pm 9}{2} \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ t_2 = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

Вернемся к переменной x:

\[ x^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5 \] \[ x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4 \]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 5, то y = 20/5 = 4.

Если x = -5, то y = 20/(-5) = -4.

Если x = 4, то y = 20/4 = 5.

Если x = -4, то y = 20/(-4) = -5.

Ответ: (5, 4), (-5, -4), (4, 5), (-4, -5)

5. Турист проплыл на байдарке 15 км против течения реки и 14 км по её течению, затратив на всё путешествие столько же времени, сколько ему понадобилось бы, чтобы проплыть в стоячей воде 30 км. Найти собственную скорость байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч.

Пусть v - собственная скорость байдарки.

Тогда скорость против течения: v - 1

Скорость по течению: v + 1

Время против течения: 15 / (v - 1)

Время по течению: 14 / (v + 1)

Общее время: 15 / (v - 1) + 14 / (v + 1)

Время в стоячей воде: 30 / v

Составим уравнение:

\[ \frac{15}{v - 1} + \frac{14}{v + 1} = \frac{30}{v} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{15(v + 1) + 14(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = \frac{30}{v} \] \[ \frac{15v + 15 + 14v - 14}{v^2 - 1} = \frac{30}{v} \] \[ \frac{29v + 1}{v^2 - 1} = \frac{30}{v} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ v(29v + 1) = 30(v^2 - 1) \] \[ 29v^2 + v = 30v^2 - 30 \] \[ v^2 - v - 30 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 11}{2} \]

Найдем корни:

\[ v_1 = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ v_2 = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч

[Лодка проплыла 21 км по течению реки и 6 км против течения за то же время, какое понадобилось бы плоту, чтобы проплыть 10 км. Зная, что скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч, найти скорость течения реки.]

Пусть x - скорость течения реки.

Скорость лодки по течению: 5 + x

Скорость лодки против течения: 5 - x

Время лодки по течению: 21 / (5 + x)

Время лодки против течения: 6 / (5 - x)

Общее время лодки: 21 / (5 + x) + 6 / (5 - x)

Время плота: 10 / x

Составим уравнение:

\[ \frac{21}{5 + x} + \frac{6}{5 - x} = \frac{10}{x} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{21(5 - x) + 6(5 + x)}{(5 + x)(5 - x)} = \frac{10}{x} \] \[ \frac{105 - 21x + 30 + 6x}{25 - x^2} = \frac{10}{x} \] \[ \frac{135 - 15x}{25 - x^2} = \frac{10}{x} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ x(135 - 15x) = 10(25 - x^2) \] \[ 135x - 15x^2 = 250 - 10x^2 \] \[ 5x^2 - 135x + 250 = 0 \]

Разделим на 5:

\[ x^2 - 27x + 50 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 729 - 200 = 529 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{27 \pm 23}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{27 + 23}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ x_2 = \frac{27 - 23}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Так как скорость течения не может быть больше скорости лодки в стоячей воде, то x = 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч

Ответ: смотри выше

Молодец! Ты отлично справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!