Контрольная работа № 2 «Подобие треугольников» 2 ВАРИАНТ 1. Отрезки КС и MN пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку №С. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=16см, МО=32см, NC=17см. 2. Прямая пересекает стороны треугольника АВСВ точках М ИК соответственно так, что МК || АC, BM: AM=1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен25см. 3. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = BC = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : НС = 3 : 1. Найдите АН. 4. В выпуклом четырехугольнике АBCD AB = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD — трапеция. 5. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки D, Е, Р соответственно. АВ=9см, AD=3см, АР=6см, DP=4см, ВЕ=8см, DE=12см. Докажите, что DE || AC 6. Человек ростом 1,5м стоит на расстоянии 16 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь?

1. Отрезки КС и MN пересекаются в точке О, так что отрезок КМ параллелен отрезку NC. Докажите, что треугольники КМО и NCO подобны. Найдите КМ, если ON=16см, МО=32см, NC=17см. Треугольники KMO и NCO подобны, так как: 1) \(\angle KMO = \angle NCO\) (как соответственные углы при параллельных прямых KM и NC и секущей MC); 2) \(\angle MKO = \angle CNO\) (как соответственные углы при параллельных прямых KM и NC и секущей KN); 3) \(\angle MOK = \angle CON\) (как вертикальные). Следовательно, треугольники KMO и NCO подобны по трем углам (первый признак подобия треугольников). В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, то есть \(\frac{KM}{NC} = \frac{MO}{ON}\). Из этого следует, что \(KM = \frac{MO \cdot NC}{ON} = \frac{32 \cdot 17}{16} = 34\) см. Ответ: Треугольники KMO и NCO подобны. KM = 34 см. 2. Прямая пересекает стороны треугольника АВСВ точках М ИК соответственно так, что МК || АC, BM: AM=1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен25см. Так как MK || AC, то треугольники BMK и BAC подобны (по двум углам: \(\angle B\) - общий, \(\angle BMK = \angle BAC\) как соответственные при MK || AC). Из условия BM : AM = 1 : 4 следует, что BM : BA = 1 : (1 + 4) = 1 : 5. Значит, коэффициент подобия k = \(\frac{BM}{BA} = \frac{1}{5}\). Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, то есть \(\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k = \frac{1}{5}\). Следовательно, \(P_{BMK} = \frac{1}{5} P_{ABC} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5\) см. Ответ: 5 см. 3. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = BC = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : НС = 3 : 1. Найдите АН. Пусть ВН = 3x, тогда НС = x. Так как ВН + НС = ВС, то 3x + x = 40, откуда 4x = 40 и x = 10. Следовательно, ВН = 3 \(\cdot\) 10 = 30 см, НС = 10 см. Рассмотрим треугольник АВН. По теореме косинусов, \(AH^2 = AB^2 + BH^2 - 2 \cdot AB \cdot BH \cdot cos(\angle B)\). Найдем \(cos(\angle B)\) из треугольника АВС. Проведем высоту BD к основанию АС. Так как треугольник АВС равнобедренный, то BD является и медианой, то есть AD = DC = 10 см. По теореме Пифагора из треугольника BDC: \(BD = \sqrt{BC^2 - DC^2} = \sqrt{40^2 - 10^2} = \sqrt{1600 - 100} = \sqrt{1500} = 10\sqrt{15}\) см. Тогда \(cos(\angle B) = \frac{BD}{BC} = \frac{10\sqrt{15}}{40} = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Теперь найдем \(AH^2 = 40^2 + 30^2 - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 1600 + 900 - 600\sqrt{15} = 2500 - 600\sqrt{15}\). \(AH = \sqrt{2500 - 600\sqrt{15}} \approx \sqrt{2500 - 600 \cdot 3.87} \approx \sqrt{2500 - 2322} \approx \sqrt{178} \approx 13.34\) см. Ответ: \(\approx\) 13.34 см 4. В выпуклом четырехугольнике АBCD AB = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD — трапеция. Рассмотрим треугольники ABD и BDC. В них \(\frac{AB}{CD} = \frac{9}{16}\), \(\frac{AD}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \frac{12}{16}\), \(\frac{BD}{BD} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\). То есть \(\frac{AD}{BC} = \frac{BD}{CD} = \frac{3}{4}\). Так как стороны AD и BC, BD и CD пропорциональны, но \(\frac{AB}{CD}
e \frac{AD}{BC}\), то треугольники ABD и BDC не подобны, следовательно, ABCD не трапеция. Однако, если \(\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{BD}\), то треугольники ABD и CBD подобны по трем сторонам. В этом случае \(\angle ABD = \angle BDC\) и \(\angle ADB = \angle DBC\), а значит, AB || CD и AD || BC, следовательно ABCD параллелограмм. Если \(\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}\), то \(\frac{9}{16} = \frac{6}{8}\) или \(\frac{9}{16} = \frac{3}{4}\), что не верно. \(9 \cdot 4 = 36
e 16 \cdot 3 = 48\) Надо проверить пропорциональность сторон по-другому. Треугольники ABD и BDC подобны, если \(\frac{AB}{BD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{DC}\) или \(\frac{9}{12} = \frac{6}{8} = \frac{12}{16}\) => \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\) Следовательно, треугольники ABD и BDC подобны по трем сторонам. Значит, \(\angle ABD = \angle BDC\), а это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, AB || CD. Так как ABCD выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, то ABCD - трапеция. Ответ: ABCD — трапеция, так как AB || CD. 5. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки D, Е, Р соответственно. АВ=9см, AD=3см, АР=6см, DP=4см, ВЕ=8см, DE=12см. Докажите, что DE || AC Проверим, выполняется ли теорема Фалеса для DE || AC. Нужно проверить, выполняется ли равенство \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\). AD = 3 см, DB = AB - AD = 9 - 3 = 6 см. \(\frac{AD}{DB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). AE = AP + PE = 6+4 = 10 см, ЕС = ВС - ВЕ = 12 - 8 = 4 см. \(\frac{AE}{EC} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\). Так как \(\frac{AD}{DB}
e \frac{AE}{EC}\), то DE не параллельна AC. Непонятно, что такое 12 см, потому что АЕ должно быть 10. Или, если DE не 12 см, тогда рассматриваем параллельность DP и BC, проверяем \(\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}\). \(\frac{3}{9}=\frac{6}{AC}\). AC = 18 см, тогда PC = AC - AP = 18 -6 = 12 cм. \(\frac{AP}{AC}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\). Треугольник DPA подобен треугольнику ABC, значит, DP || BC. \(\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}\), выполняется равенство 1/3=1/3. Ответ: Невозможно доказать, что DE || AC. Однако, если DP || BC, то равенство выполняется 6. Человек ростом 1,5м стоит на расстоянии 16 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 4 шагам. На какой высоте в метрах расположен фонарь? Пусть h - высота фонаря, x - расстояние от основания столба до человека, y - длина тени человека. Тогда \(\frac{h}{x+y} = \frac{1.5}{y}\), где h - высота фонаря, 1.5 - рост человека. Из условия x = 16 шагов, y = 4 шага. Тогда x + y = 16 + 4 = 20 шагов. \(\frac{h}{20} = \frac{1.5}{4}\) \(\Rightarrow\) h = \(\frac{1.5 \cdot 20}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\) шагов. Так как тень человека равна 4 шагам, а рост человека 1.5 м, то 1 шаг = \(\frac{1.5}{4}\) = 0.375 м. Следовательно, высота фонаря h = 7.5 шагов \(\cdot\) 0.375 м/шаг = 2.8125 м. Ответ: 2.8125 м