Контрольная работа № 3 по теме «Признаки подобия треугольников». Вариант 1. 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 1). Найти: а) ОВ, б) АС: BD: B) SAOC: SBOD. 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, КN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°. 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || AC, BM : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см. 4. В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) ОВ, б) АС: BD, в) S_AOC : S_BOD.

Смотри, тут всё просто: треугольники АОD и ВОС подобны по двум углам (∠A = ∠B, углы при вершине О равны). Из подобия следует пропорциональность сторон.

а) Найдём ОВ:

Так как треугольники АОD и ВОС подобны, составим пропорцию: \(\frac{AO}{OB} = \frac{DO}{OC}\). Подставляем известные значения: \(\frac{5}{OB} = \frac{6}{4}\). Отсюда ОВ = \(\frac{5 \cdot 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\).

ОВ = \(\frac{10}{3}\) или 3 \(\frac{1}{3}\)

б) Найдём АС: BD:

Отношение АС: BD равно отношению соответствующих сторон подобных треугольников: \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO + OC}{BO + OD} = \frac{5 + 4}{\frac{10}{3} + 6} = \frac{9}{\frac{10 + 18}{3}} = \frac{9}{\frac{28}{3}} = \frac{9 \cdot 3}{28} = \frac{27}{28}\).

АС: BD = \(\frac{27}{28}\)

в) Найдём S_AOC : S_BOD:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон: \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{AO}{BO})^2 = (\frac{5}{\frac{10}{3}})^2 = (\frac{5 \cdot 3}{10})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\).

S_AOC : S_BOD = \(\frac{9}{4}\)

Ответ: а) OB = \(\frac{10}{3}\); б) AC : BD = \(\frac{27}{28}\); в) S_AOC : S_BOD = \(\frac{9}{4}\).

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, КN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.

Разбираемся: определим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Если отношение сторон у них одинаковое, то да.

\(\frac{AB}{MN} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), \(\frac{BC}{NK} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\), \(\frac{AC}{MK} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

Стороны не пропорциональны, следовательно, треугольники не подобны. Значит, нельзя однозначно определить углы треугольника MNK, зная только углы A и B треугольника ABC.

Ответ: Невозможно определить углы треугольника MNK, так как треугольники ABC и MNK не подобны.

3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || AC, BM : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Смотри, тут всё просто: так как MK || AC, то треугольники ВМК и ВАС подобны. Значит, отношение их периметров равно отношению соответствующих сторон.

По условию BM : AM = 1 : 4, значит, BM : BA = 1 : (1 + 4) = 1 : 5. Пусть P_BMK - периметр треугольника BMK, а P_ABC - периметр треугольника ABC. Тогда \(\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{5}\). P_ABC = 25 см, следовательно, P_BMK = \(\frac{1}{5}\) * 25 = 5 см.

Ответ: Периметр треугольника ВМК равен 5 см.

4. В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Логика такая: треугольники AOD и ВОС подобны (углы при основаниях равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон. Значит, S_AOD / S_BOC = (AD / BC)^2.

S_AOD = 45 см², AD = 12 см, ВС = 4 см. Получаем: \(\frac{45}{S_{BOC}} = (\frac{12}{4})^2 = 3^2 = 9\). Отсюда S_BOC = \(\frac{45}{9}\) = 5 см².

Ответ: Площадь треугольника ВОС равна 5 см².