Контрольная работа № 2 по теме: «Декартовы координаты». Вариант 1 1) Найдите длину отрезка ВС и координаты его середины, если В (-2; 5) и С (4; 1). 2) Постройте окружность, заданную уравнением: а) х² + (y + 4)² = 9; б) (x + 2)² + (y - 1)² = 4. 3) Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке А (-1; 2) и которая проходит через точку М (1; 7). 4) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 1), В (-2; 13).

Решение:

1. Найдем длину отрезка BC, используя формулу расстояния между двумя точками:

   $$BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

   Подставим координаты точек B(-2; 5) и C(4; 1):

   $$BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

   Найдем координаты середины отрезка BC, используя формулу середины отрезка:

   $$x_с = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_с = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

   Подставим координаты точек B(-2; 5) и C(4; 1):

   $$x_с = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1, y_с = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

   Середина отрезка BC имеет координаты (1; 3).

   Ответ: Длина отрезка $$2\sqrt{13}$$, координаты середины (1; 3)

2. а) Дано уравнение окружности: $$x^2 + (y + 4)^2 = 9$$.

   Это уравнение окружности с центром в точке (0; -4) и радиусом $$r = \sqrt{9} = 3$$.

         ось y
         ↑
         |
         |       * * *
         |     *       *
         |   *           *
         |  *             *
         | *               *
   ------|---------------------> ось x
         | *               *
         |  *             *
         |   *           *
         |     *       *
         |       * * *
         |     (0;-4) центр
         |
       

   б) Дано уравнение окружности: $$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$$.

   Это уравнение окружности с центром в точке (-2; 1) и радиусом $$r = \sqrt{4} = 2$$.

         ось y
         ↑
         |
         |       * *
         |     *   *
         |   *       *
         |  *         *
   ------|-----------(-2;1)--------> ось x
         |  *         *
         |   *       *
         |     *   *
         |       * *
         |
       

   Ответ: а) Центр (0; -4), радиус 3; б) Центр (-2; 1), радиус 2

3. Составим уравнение окружности с центром в точке A(-1; 2), проходящей через точку M(1; 7).

   Уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$, где (a; b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

   Найдем радиус окружности, используя координаты центра A(-1; 2) и точки M(1; 7):

   $$r = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

   Уравнение окружности: $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29$$

   Ответ: $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29$$

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 1) и B(-2; 13).

   Уравнение прямой имеет вид: $$y = kx + b$$.

   Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой:

   $$1 = k \cdot 1 + b$$

   $$13 = k \cdot (-2) + b$$

   Получим систему уравнений:

   $$\begin{cases} k + b = 1 \\ -2k + b = 13 \end{cases}$$

   Вычтем из второго уравнения первое:

   $$(-2k + b) - (k + b) = 13 - 1$$

   $$-3k = 12$$

   $$k = -4$$

   Подставим значение k в первое уравнение:

   $$-4 + b = 1$$

   $$b = 5$$

   Уравнение прямой: $$y = -4x + 5$$

   Ответ: $$y = -4x + 5$$