Контрольная работа № 3 по теме : «Векторы» 1 вариант 1. Начертите неколлинеарные векторы а, в, с. Постройте векторы равные: а) 2а + в; б) в - с. 2. Стороны правильного треугольника АВС равны 6. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС. 3. На стороне ВС параллелограмма ABCD лежит точка М так, что ВМ = МС. О - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы DB, OD, AC, DM через векторы а = DA и в = DC. 4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, CE:ED = 2:3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и в = АД.

Давай разберем по порядку каждое задание контрольной работы по векторам.

1. Построение векторов

Это задание требует графического построения. Тебе нужно нарисовать три неколлинеарных вектора (то есть, не лежащих на одной прямой) и затем построить векторы, равные 2a + b и b - c. Для этого нужно уметь складывать и вычитать векторы, а также умножать вектор на число.

2. Скалярное произведение векторов

Стороны правильного треугольника ABC равны 6. Нужно найти скалярное произведение векторов \[\overrightarrow{AB}\] и \[\overrightarrow{AC}\].

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle BAC)\]

Так как треугольник правильный, то \[|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 6\] и угол \[\angle BAC = 60^\circ\].

Тогда:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18\]

Ответ: 18

3. Выражение векторов через заданные

На стороне BC параллелограмма ABCD лежит точка M так, что BM = MC. O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{OD}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{DM}\) через векторы \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{DC}\).

1. \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)
2. \(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)
3. \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
4. \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)

Ответ:

• \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)
• \(\overrightarrow{OD} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)
• \(\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
• \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)

4. Выражение векторов через заданные (продолжение)

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK = KC, CE:ED = 2:3. Выразите векторы \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{KE}\) через векторы \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD}\).

1. \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)
2. \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5} \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
3. \(\overrightarrow{KE} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AE} = -(\overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}) + (\frac{3}{5} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = -\overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{3}{5} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\frac{3}{5} - 1) \overrightarrow{a} + (1 - \frac{1}{2}) \overrightarrow{b} = -\frac{2}{5} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)

Ответ:

• \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)
• \(\overrightarrow{AE} = \frac{3}{5} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\)
• \(\overrightarrow{KE} = -\frac{2}{5} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}\)

Ответ: Решения задач приведены выше.