Контрольная работа № 4 (п. 57-61) Вариант 1 1. Дано: ДАВС ~ ДАВС, АВ = 6 см, ВС = 7 см, LA = LA1, АС = 8 см, А₁В₁ = 24 см — большая сторона ДА1В1С1. Найти В1С1 и А1С1. 2. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN = 15 см и NC = 5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС = 15 см. 3. Дано: АВCD параллелограмм (рис. 36.1), BL:LC = 7:5, AB = 105 см. Найдите: a) BK; б) отношение площадей треугольников BKL и ADK.

Задание 1

1. Составим отношение соответственных сторон: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]
2. Подставим известные значения:\[\frac{6}{24} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{8}{A_1C_1}\]
3. Выразим \(B_1C_1\) и \(A_1C_1\) через пропорции:\[B_1C_1 = \frac{7 \cdot 24}{6} = 28\) см\]\[A_1C_1 = \frac{8 \cdot 24}{6} = 32\) см\]

Ответ: \(B_1C_1 = 28\) см, \(A_1C_1 = 32\) см

Задание 2

1. Рассмотрим треугольник ABC, в котором MN || AC. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:\[\frac{BN}{NC} = \frac{BM}{MA} = \frac{MN}{AC}\]
2. Подставим известные значения:\[\frac{15}{5} = \frac{MN}{15}\]
3. Выразим MN:\[MN = \frac{15 \cdot 15}{5} = 45\) см\]

Ответ: MN = 45 см

Задание 3

a) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть BL = 7x, LC = 5x, тогда BC = BL + LC = 7x + 5x = 12x. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD = 105 см и BC = AD = 12x.

Так как BL:LC = 7:5, то \(BL = \frac{7}{12} BC\). Треугольники BKL и ADK подобны (по двум углам). Коэффициент подобия равен отношению сторон, то есть \(k = \frac{BL}{AD} = \frac{7x}{12x} = \frac{7}{12}\).

Тогда \(\frac{BK}{AK} = \frac{7}{12}\), следовательно, \(BK = \frac{7}{12} AK\).

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть:\[\frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} = k^2 = (\frac{7}{12})^2 = \frac{49}{144}\]

Ответ: а) \(BK = \frac{7}{12} AK\); б) \(\frac{49}{144}\)