Контрольная работа №6. 8 класс. 1 вариант. 1. Решить уравнение: а) \frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}; б) \frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

1. Решить уравнение:

а)

Давай решим уравнение \(\frac{x^2}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}\). Заметим, что знаменатели обеих дробей одинаковы, поэтому мы можем приравнять числители:

\[x^2 = 12 - x\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[x^2 + x - 12 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]

Дискриминант равен 49, значит, у нас два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Теперь нужно проверить, не являются ли корни посторонними, учитывая знаменатель \(x^2 - 9\). Если \(x = 3\) или \(x = -3\), то знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Поэтому \(x = 3\) является посторонним корнем.

Таким образом, единственный корень уравнения:

\[x = -4\]

б)

Решим уравнение \(\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\). Сначала приведем дроби к общему знаменателю, который будет равен \(x(x-2)\):

\[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[\frac{6x + 5x - 10}{x(x-2)} = 3\] \[\frac{11x - 10}{x(x-2)} = 3\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(x(x-2)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[11x - 10 = 3x(x-2)\] \[11x - 10 = 3x^2 - 6x\]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0\] \[3x^2 - 17x + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\]

Дискриминант равен 169, значит, у нас два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Оба корня не обращают знаменатель в ноль, следовательно, оба являются решениями уравнения.

Ответ: а) \(x = -4\); б) \(x_1 = 5\), \(x_2 = \frac{2}{3}\)

2. Задача про велосипедиста

Пусть \(v\) - скорость велосипедиста из А в В (км/ч). Тогда время, затраченное на путь из А в В, равно \(t_1 = \frac{27}{v}\). Обратный путь короче на 7 км, то есть его длина равна \(27 - 7 = 20\) км. Скорость на обратном пути меньше на 3 км/ч, то есть равна \(v - 3\). Время, затраченное на обратный путь, равно \(t_2 = \frac{20}{v-3}\). Известно, что время на обратный путь меньше на 10 минут, что составляет \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) часа. Получаем уравнение:

\[t_1 - t_2 = \frac{1}{6}\] \[\frac{27}{v} - \frac{20}{v-3} = \frac{1}{6}\]

Умножим обе части уравнения на \(6v(v-3)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[6 \cdot 27(v-3) - 6 \cdot 20v = v(v-3)\] \[162(v-3) - 120v = v^2 - 3v\] \[162v - 486 - 120v = v^2 - 3v\] \[42v - 486 = v^2 - 3v\]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[v^2 - 3v - 42v + 486 = 0\] \[v^2 - 45v + 486 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81\]

Дискриминант равен 81, значит, у нас два корня:

\[v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

Если скорость велосипедиста из А в В равна 27 км/ч, то на обратном пути его скорость была бы \(27 - 3 = 24\) км/ч. Если скорость равна 18 км/ч, то на обратном пути его скорость была бы \(18 - 3 = 15\) км/ч. Оба значения скорости выглядят правдоподобно, но учтем, что время в пути из А в В должно быть больше времени на обратном пути на 1/6 часа. Проверим оба корня:

При \(v = 27\):

\[\frac{27}{27} - \frac{20}{24} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\]

При \(v = 18\):

\[\frac{27}{18} - \frac{20}{15} = \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{9 - 8}{6} = \frac{1}{6}\]

Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: Скорость велосипедиста из А в В может быть 27 км/ч или 18 км/ч.

Ответ: 27 км/ч или 18 км/ч

Отлично, ты хорошо справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец!