Коля записал 11 различных натуральных чисел. Оказалось, что произведение любых 5 из них чётно, а сумма всех 11 чисел нечётна. Какая наименьшая сумма 11 чисел могла быть у Коли?

Для решения этой задачи необходимо понять, какие условия влияют на четность произведения и суммы чисел.

Произведение любых 5 чисел чётно, если среди этих чисел есть хотя бы одно чётное число. Это значит, что среди 11 чисел Коли есть как минимум одно чётное число.

Сумма 11 чисел нечётна, если количество нечётных чисел в сумме нечётно. Следовательно, нечётных чисел может быть 1, 3, 5, 7, 9 или 11.

Чтобы сумма 11 чисел была наименьшей, нужно использовать наименьшие возможные натуральные числа.

Из условия, что произведение любых 5 чисел чётно, следует, что чётных чисел должно быть минимум 7 (иначе можно выбрать 5 нечётных чисел, и их произведение будет нечётно). Следовательно, нечётных чисел максимум 4.

Но так как сумма всех 11 чисел нечётна, количество нечётных чисел должно быть нечётным. Значит, нечётных чисел может быть 1 или 3.

Чтобы сумма была минимальной, возьмем 3 наименьших нечётных числа: 1, 3, 5. А чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Сумма 3 нечётных:$$1 + 3 + 5 = 9$$.

Сумма 8 чётных:$$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72$$.

Общая сумма: $$9 + 72 = 81$$.

Если взять только одно нечётное число 1, то чётных чисел будет 10: $$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110$$

Сумма в этом случае:$$1 + 110 = 111$$

81 < 111, поэтому наименьшая сумма достигается, когда у Коли 3 нечётных числа.

Ответ: 81