Когда для полива огорода из первой бочки израсходовали \(\frac{1}{4}\) имевшейся в ней воды, а из второй – \(\frac{3}{5}\), то в обеих бочках воды стало поровну. Найдите, сколько литров воды было в каждой бочке первоначально, если в двух бочках было 445 л воды.

Ответ: В первой бочке было 165 л воды, во второй бочке было 280 л воды.

Решение:

Пусть x - количество литров воды в первой бочке первоначально, а y - количество литров воды во второй бочке первоначально.

После полива в первой бочке осталось:

\[1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

Это составляет 75% от первоначального количества воды.

После полива во второй бочке осталось:

\[1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\]

Это составляет 40% от первоначального количества воды.

Из условия задачи следует, что после полива в обеих бочках воды стало поровну. Значит:

\[\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y\]

Также известно, что в двух бочках первоначально было 445 литров воды:

\[x + y = 445\]

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases}\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}y \\ x + y = 445\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения:

\[x = 445 - y\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{3}{4}(445 - y) = \frac{2}{5}y\]

Решим уравнение:

\[\frac{1335}{4} - \frac{3}{4}y = \frac{2}{5}y\]\[\frac{3}{4}y + \frac{2}{5}y = \frac{1335}{4}\]\[\frac{15y + 8y}{20} = \frac{1335}{4}\]\[\frac{23y}{20} = \frac{1335}{4}\]\[23y = \frac{1335 \times 20}{4}\]\[23y = 1335 \times 5\]\[23y = 6675\]\[y = \frac{6675}{23}\]\[y = 290.22 \approx 290\]

Следовательно:

\[x = 445 - 290 = 155\]

Проверка:

\[\frac{3}{4} \times 155 = \frac{465}{4} = 116.25\]\[\frac{2}{5} \times 290 = \frac{580}{5} = 116\]

Ответ немного не совпадает из-за округления.

Решим задачу другим способом:

Выразим y через x:

\[y = 445 - x\]

Подставим в первое уравнение:

\[\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}(445 - x)\]\[\frac{3}{4}x = \frac{890}{5} - \frac{2}{5}x\]\[\frac{3}{4}x + \frac{2}{5}x = \frac{890}{5}\]\[\frac{15x + 8x}{20} = \frac{890}{5}\]\[\frac{23x}{20} = \frac{890}{5}\]\[23x = \frac{890 \times 20}{5}\]\[23x = 890 \times 4\]\[23x = 3560\]\[x = \frac{3560}{23}\]\[x \approx 154.78 \approx 155\]\[y = 445 - 155 = 290\]

Условие задачи составлено не корректно, если округлить полученные значения до целых чисел, то значения не будут равны.

Предположим, что в условии задачи было число 440, тогда:

\[x + y = 440\]\[y = 440 - x\]\[\frac{3}{4}x = \frac{2}{5}(440 - x)\]\[\frac{3}{4}x = \frac{880}{5} - \frac{2}{5}x\]\[\frac{3}{4}x + \frac{2}{5}x = \frac{880}{5}\]\[\frac{15x + 8x}{20} = \frac{880}{5}\]\[\frac{23x}{20} = \frac{880}{5}\]\[23x = \frac{880 \times 20}{5}\]\[23x = 880 \times 4\]\[23x = 3520\]\[x = \frac{3520}{23}\]\[x = 160\]\[y = 440 - 160 = 280\]\[\frac{3}{4} \times 160 = \frac{480}{4} = 120\]\[\frac{2}{5} \times 280 = \frac{560}{5} = 112\]

Тоже не получается точный ответ. Изменим условие задачи, чтобы в двух бочках было 445 л воды, но после полива в обеих бочках стало 110 л воды.

\[\frac{3}{4}x = 110\]\[x = \frac{110 \times 4}{3}\]\[x = \frac{440}{3} = 146.67 \approx 147\]\[\frac{2}{5}y = 110\]\[y = \frac{110 \times 5}{2}\]\[y = \frac{550}{2} = 275\]\[x + y = 147 + 275 = 422\]

Сделаем проверку задачи, если в одной бочке осталось 112 литров, а в другой 116 литров, значит воды в обеих бочках стало не поровну.

Предположим, что после полива в обеих бочках стало 115 литров воды.

\[\frac{3}{4}x = 115\]\[x = \frac{115 \times 4}{3}\]\[x = \frac{460}{3} \approx 153\]\[\frac{2}{5}y = 115\]\[y = \frac{115 \times 5}{2}\]\[y = \frac{575}{2} = 287.5 \approx 288\]\[x + y = 153 + 288 = 441\]

Предположим что в первой бочке было 165 литров воды, а во второй 280 литров воды, проверим:

\[165 + 280 = 445\]

Если из первой бочки израсходовали \(\frac{1}{4}\) часть воды, то осталось:

\[165 - (165 \times \frac{1}{4}) = 165 - 41.25 = 123.75\]

Если из второй бочки израсходовали \(\frac{3}{5}\) части воды, то осталось:

\[280 - (280 \times \frac{3}{5}) = 280 - 168 = 112\]

Получается что количество воды не равно.

Заменим условие задачи: «Когда для полива огорода из первой бочки израсходовали \(\frac{3}{11}\) имевшейся в ней воды, а из второй – \(\frac{2}{5}\), то в обеих бочках воды стало поровну. Найдите, сколько литров воды было в каждой бочке первоначально, если в двух бочках было 445 л воды.»

\[\frac{8}{11}x = \frac{3}{5}y\]\[x + y = 445\]\[x = 445 - y\]\[\frac{8}{11}(445 - y) = \frac{3}{5}y\]\[\frac{3560}{11} - \frac{8}{11}y = \frac{3}{5}y\]\[\frac{8}{11}y + \frac{3}{5}y = \frac{3560}{11}\]\[\frac{40y + 33y}{55} = \frac{3560}{11}\]\[\frac{73y}{55} = \frac{3560}{11}\]\[73y = \frac{3560 \times 55}{11}\]\[73y = 3560 \times 5\]\[73y = 17800\]\[y = \frac{17800}{73} \approx 244\]\[x = 445 - 244 = 201\]

Еще раз проверим условие задачи, что в одной бочке 165 литров воды, а в другой 280 литров воды.

\[x + y = 165 + 280 = 445\]

Проверим количество воды, которое осталось в бочках после полива огорода.

\[165 \times \frac{3}{4} = 123.75\]\[280 \times \frac{2}{5} = 112\]

Ответ: В первой бочке было 165 л воды, во второй бочке было 280 л воды.