KN ∥ EM. ∠EMF : ∠EMK = 1 : 2. Найти ∠KMF и ∠K.

Так как точки F, M, N лежат на одной прямой, углы \(\angle EMF\) и \(\angle EMN\) — смежные.

Обозначим \(\angle EMF=x\), тогда по условию \(\angle EMK=2x\). Поскольку \(KN\parallel EM\), угол между прямыми \(KM\) и \(KN\) равен углу между прямыми \(KM\) и \(EM\), то есть \(\angle K=\angle EMK=2x\).

Угол \(\angle KMF\) является смежным с углом \(\angle EMK\), поэтому \(\angle KMF=180^\circ-2x\).

В треугольнике \(KMN\):

\[\angle KMF+\angle K+\angle N=180^\circ.\]

Из параллельности \(KN\parallel EM\) и коллинеарности \(F,M,N\) следует, что \(\angle N=\angle EMF=x\). Поэтому

\[(180^\circ-2x)+2x+x=180^\circ,\qquad x=0^\circ.\]

Получается вырожденная конфигурация, противоречащая рисунку. Следовательно, в условии, вероятно, имеется опечатка: при указанных данных ненулевые значения \(\angle KMF\) и \(\angle K\) однозначно определить нельзя.

Ответ: условие противоречиво; данных для определения углов недостаточно.