Классная работа. Теоретическая часть: 1. Дайте определение окружности. 2. Назовите и кратко охарактеризуйте основные элементы окружности (центр, радиус, диаметр, хорда, дуга). 3. В чём состоит различие между окружностью и кругом? 4. Сформулируйте определение касательной к окружности. 5. Что такое центральный угол? Как он связан с дугой окружности? 6. Что такое вписанный угол? Чему он равен? Практическая часть: 1. Центральный угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности. 2. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9 : 11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. 3. В окружности с центром О отрезки АС и BD - диаметры. Угол АСВ равен 26°. Найдите угол AOD. 4. Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ДАВС = 15° и СОАВ = 8°. Найдите угол ВCO. 5. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла ОМК. 6. Отрезки АВ и CD - диаметры окружности. Докажите, что хорды BD и АС равны. 7. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

Теоретическая часть

1. Определение окружности:

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

2. Основные элементы окружности:

• Центр: Точка, от которой равноудалены все точки окружности.
• Радиус: Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.
• Диаметр: Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Диаметр равен двум радиусам.
• Хорда: Отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
• Дуга: Часть окружности, ограниченная двумя точками.

3. Различие между окружностью и кругом:

Окружность — это линия, а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью.

4. Определение касательной к окружности:

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

5. Центральный угол:

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

6. Вписанный угол:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается, или половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Практическая часть

1. Радиус окружности:

В треугольнике АОВ: \( OA = OB \) (радиусы). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Угол \( OAB = 60^° \), значит, \( \triangle AOB \) — равносторонний (так как \( \triangle AOB \) равнобедренный и \( \triangle OAB = \triangle OBA = 60^° \)).

Следовательно, \( AB = OA = OB = 6 \).

Ответ: Радиус окружности равен 6.

2. Величина центрального угла:

Отношение дуг \( 9:11 \). Общая сумма частей \( 9 + 11 = 20 \).

Полная окружность составляет \( 360^° \).

Меньшая дуга составляет \( \frac{9}{20} \) от окружности.

Величина меньшей дуги: \( 360^° \cdot \frac{9}{20} = 18^° \cdot 9 = 162^° \).

Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, равен этой дуге.

Ответ: Центральный угол равен 162°.

3. Угол AOD:

В \( \triangle ACB \), \( \triangle ADB \) — прямоугольные, так как опираются на диаметр.

\( \triangle ACB \) — прямоугольный, \( \triangle ACB = 90^° \).

В \( \triangle ACB \): \( \triangle CAB + \triangle CBA = 90^° \).

\( \triangle CAB = 90^° - \triangle ACB = 90^° - 26^° = 64^° \).

\( \triangle AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу AD.

\( \triangle ABD \) — прямоугольный, \( \triangle ABD = 90^° \).

В \( \triangle ABD \): \( \triangle DAB + \triangle DBA = 90^° \).

\( \triangle DAB \) — это тот же \( \triangle CAB \), поэтому \( \triangle DAB = 64^° \).

\( \triangle DBA = 90^° - 64^° = 26^° \).

\( \triangle AOD \) — центральный угол. \( \triangle ABD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. \( \triangle ABD = 26^° \).

\( \triangle AOD = 2 · \triangle ABD = 2 · 26^° = 52^° \).

Ответ: Угол AOD равен 52°.

4. Угол BCO:

В \( \triangle ABC \): \( \triangle BAC + \triangle ABC + \triangle BCA = 180^° \).

\( \triangle BAC = 15^° \), \( \triangle ABC = ? \).

\( \triangle ABC \) — вписанный угол. Центральный угол \( \triangle AOC = 2 · \triangle ABC \).

\( \triangle ABC \) — вписанный угол. Центральный угол \( \triangle AOB = 2 · \triangle ACB \).

Мы имеем \( \triangle OAB = 8^° \). Так как \( OA = OB \) (радиусы), то \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

\( \triangle OBA = \triangle OAB = 8^° \).

\( \triangle AOB = 180^° - (8^° + 8^°) = 180^° - 16^° = 164^° \).

\( \triangle ABC = 15^° \), значит, \( \triangle AOC = 2 · 15^° = 30^° \).

В \( \triangle BOC \), \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle BOC \) — равнобедренный.

\( \triangle BOC = \triangle AOB + \triangle AOC \) или \( \triangle BOC = \triangle AOB - \triangle AOC \).

\( \triangle BOC = 164^° + 30^° = 194^° \) (тупой угол) или \( \triangle BOC = |164^° - 30^°| = 134^° \).

Если \( \triangle BOC = 134^° \), то \( \triangle OBC = \triangle OCB = (180^° - 134^°) / 2 = 46^° / 2 = 23^° \).

Ответ: Угол BCO равен 23°.

5. Угол ОМК:

\( OK \) — радиус, \( MK \) — хорда.

Прямая \( l \) — касательная к окружности в точке \( K \).

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Угол \( lKM = 83^° \).

\( \triangle OMK \) — равнобедренный, так как \( OK = OM \) (радиусы).

Угол \( OMK = \triangle MKO \).

\( OK \bot l \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Значит, \( \triangle OKL = 90^° \), где \( L \) — точка на касательной.

\( \triangle OKM \) — угол между радиусом \( OK \) и хордой \( KM \).

По теореме о касательной и хорде, вписанный угол, опирающийся на дугу \( MK \), равен \( \triangle M K l = 83^° \).

Центральный угол \( \triangle MOK \) равен \( 2 · (\text{вписанный угол, опирающийся на дугу MK}) \).

Но нам дан угол между касательной и хордой. \( \triangle M K l = 83^° \). Этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \( MK \).

\( \triangle OMK \) — равнобедренный (\( OK=OM \)).

\( \triangle OKM = 90^° - 83^° = 7^° \) (это неверно).

Угол \( O K l = 90^° \).

\( \triangle OKM \) = \( \triangle O K l - \triangle M K l \) = \( 90^° - 83^° = 7^° \).

Так как \( \triangle OMK \) равнобедренный, то \( \triangle OMK = \triangle O M K = 7^° \).

Ответ: Угол ОМК равен 7°.

6. Доказательство равенства хорд BD и AC:

Дано: AB и CD — диаметры окружности с центром O.

Доказать: \( BD = AC \).

Рассмотрим \( \triangle OBD \) и \( \triangle OAC \).

\( OB = OA \) (радиусы).

\( OD = OC \) (радиусы).

\( \triangle OBD = \triangle OAC \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Угол \( \triangle BOD \) и \( \triangle AOC \) — вертикальные, следовательно, \( \triangle BOD = \triangle AOC \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть \( BD = AC \).

Что и требовалось доказать.

7. Доказательство перпендикулярности диаметра:

Дано: Окружность с центром O. Хорда AB. Точка M — середина хорды AB. Диаметр CD проходит через M.

Доказать: \( CD \bot AB \).

Рассмотрим \( \triangle OMA \) и \( \triangle OMB \).

\( OA = OB \) (радиусы).

\( OM \) — общая сторона.

\( AM = MB \) (по условию, M — середина AB).

Следовательно, \( \triangle OMA = \triangle OMB \) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует, что углы \( \triangle OMA = \triangle OMB \).

Так как \( \triangle OMA + \triangle OMB = 180^° \) (развёрнутый угол), то \( \triangle OMA = \triangle OMB = 180^° / 2 = 90^° \).

Следовательно, \( OM \bot AB \).

Так как диаметр CD проходит через точку M, то \( CD \bot AB \).

Что и требовалось доказать.