8 класс К-1, В-2 1. Диагонали ромба КММР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КМО, если MNP = 80°. 2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М так, что AB = Bм. а) Докажите, что АМ б) Найдите периметр CD = 8 см, СМ = 4 см.

Решение:

1) Рассмотрим ромб KMNP, диагонали которого пересекаются в точке O, и ∠MNP = 80°.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.
• ∠KMO = ∠NMO = 80° / 2 = 40°
• Рассмотрим треугольник KMO, в котором ∠MOK = 90° (так как диагонали ромба перпендикулярны).
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• ∠KMO = 180° - ∠MOK - ∠OKM = 180° - 90° - 40° = 50°

Углы треугольника KMO:

• ∠KMO = 50°
• ∠MOK = 90°
• ∠OKM = 40°

2) Рассмотрим параллелограмм ABCD, где на стороне BC взята точка M так, что AB = BM.

а) Докажем, что AM — биссектриса угла BAD.

• Так как AB = BM, то треугольник ABM — равнобедренный.
• ∠BAM = ∠BMA (углы при основании равнобедренного треугольника).
• ∠BMA = ∠MAD (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM).
• ∠BAM = ∠MAD, следовательно, AM — биссектриса угла BAD.

б) Найдем периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

• Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD = 8 см.
• BC = BM + CM = AB + CM = 8 см + 4 см = 12 см.
• AD = BC = 12 см (противоположные стороны параллелограмма равны).
• Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: P = 2(AB + BC) = 2(8 см + 12 см) = 2 ∙ 20 см = 40 см.