7 класс C-8, B-2 1. Медиана О треугольника MNK продолжена за точку О на от- резок OF = NO, и точка F соединена с точкой К. Докажите, что тре- угольник MON равен треугольнику KOF. 2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Ри Q так, что AP = CQ. Докажите, что треугольник РВQ рав- нобедренный.

1. Рассмотрим треугольники MON и KOF.

По условию OF = NO, ∠MON = ∠KOF как вертикальные. Медиана NO треугольника MNK делит сторону MK пополам, то есть MO = OK. Следовательно, треугольники MON и KOF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, где AB = BC. Отметим на основании AC точки P и Q так, что AP = CQ.

Докажем, что треугольник PBQ равнобедренный, то есть PB = BQ.

Так как AP = CQ, то AP = CQ.

Тогда PC = AC - AP, QA = AC - CQ.

Поскольку AP = CQ, то PC = QA.

Рассмотрим треугольники ABP и CBQ. У них AB = BC (треугольник ABC равнобедренный), ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника равны), AP = CQ (по условию). Следовательно, треугольники ABP и CBQ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ABP и CBQ следует, что BP = BQ. Таким образом, треугольник PBQ равнобедренный.

Ответ: доказано, что треугольник MON равен треугольнику KOF и треугольник PBQ равнобедренный.