8 класс B-2 1. Стороны параллелограмма равны 8 см и 5 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, один из катетов равен 9 см. Найдите второй катет. 2 3. Высота трапеции равна 7 см, а одно из оснований в 5 раз больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 84 см. 4. Найдите высоту треугольника, если она в 4 раза больше стороны к которой проведена, а площадь треугольника равна 72 см². 2 5. Периметр параллелограмма равен 36 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° меньше прямого, а высота равна 6 см.

1. Дано: параллелограмм, стороны 8 см и 5 см, угол между ними 30°.

Найти: площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $$S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$, где a и b - стороны параллелограмма, $$ \alpha $$ - угол между ними.

$$S = 8 \cdot 5 \cdot sin(30°) = 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 20 \text{ см}^2$$

Ответ: 20 см²

---

2. Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза 15 см, один катет 9 см.

Найти: второй катет.

Решение:

По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

$$9^2 + b^2 = 15^2$$

$$81 + b^2 = 225$$

$$b^2 = 225 - 81 = 144$$

$$b = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: 12 см

---

3. Дано: высота трапеции 7 см, одно основание в 5 раз больше другого, площадь трапеции 84 см².

Найти: основания трапеции.

Решение:

Пусть меньшее основание равно x, тогда большее основание равно 5x.

Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где a и b - основания, h - высота.

$$84 = \frac{x + 5x}{2} \cdot 7$$

$$84 = \frac{6x}{2} \cdot 7$$

$$84 = 3x \cdot 7$$

$$84 = 21x$$

$$x = \frac{84}{21} = 4 \text{ см}$$ - меньшее основание

$$5x = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см}$$ - большее основание

Ответ: 4 см и 20 см

---

4. Дано: высота треугольника в 4 раза больше стороны, к которой проведена, площадь треугольника 72 см².

Найти: высоту треугольника.

Решение:

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где a - сторона, h - высота.

Пусть сторона равна x, тогда высота равна 4x.

$$72 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4x$$

$$72 = 2x^2$$

$$x^2 = \frac{72}{2} = 36$$

$$x = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$ - сторона

$$4x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$$ - высота

Ответ: 24 см

---

5. Дано: периметр параллелограмма 36 см, один из углов на 60° меньше прямого, высота равна 6 см.

Найти: площадь параллелограмма.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма a и b. Периметр: $$2(a + b) = 36$$, следовательно, $$a + b = 18$$.

Один из углов на 60° меньше прямого, значит, он равен 90° - 60° = 30°.

Высота, проведенная к стороне a, равна 6 см. Тогда $$sin(30°) = \frac{h}{b}$$, где h - высота.

$$\frac{1}{2} = \frac{6}{b}$$, следовательно, $$b = 12 \text{ см}$$.

$$a + 12 = 18$$, следовательно, $$a = 18 - 12 = 6 \text{ см}$$.

Площадь параллелограмма: $$S = a \cdot h = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2$$

Ответ: 36 см²