9 класс Сумма геометрической прогрессии Вариант 1 Рассматривается геометрическая прогрессия, заданная формулой п-го члена: b=16-(-)- . 2 а) Найдите сумму ее первых пяти членов. б) Найдите сумму ее первых п членов. в)* Сколько надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную 21?

a) Найдите сумму ее первых пяти членов.

• Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
• В нашем случае: \[b_n = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\]
• Первый член прогрессии: \[b_1 = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{1-1} = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 16 \cdot 1 = 16\]
• Знаменатель прогрессии: \[q = -\frac{1}{2}\]
• Найдем сумму первых пяти членов: \[S_5 = \frac{16 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{16 \cdot (1 + \frac{1}{32})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{33}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{33}{2} \cdot \frac{2}{3} = 11\]

б) Найдите сумму ее первых n членов.

• Используем ту же формулу суммы: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
• Подставляем известные значения: \[S_n = \frac{16 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{16 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n)\]
• Упрощаем выражение: \[S_n = \frac{32}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\]

в)* Сколько надо сложить последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы получить сумму, равную \(\frac{21}{2}\)?

• Приравняем сумму к \(\frac{21}{2}\): \[\frac{32}{3} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^n) = \frac{21}{2}\]
• Решим уравнение относительно n: \[1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{21}{2} \cdot \frac{3}{32} = \frac{63}{64}\]
• Продолжаем упрощать: \[\left(-\frac{1}{2}\right)^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}\]
• Представим \(\frac{1}{64}\) как степень \(-\frac{1}{2}\): \[\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \left(-\frac{1}{2}\right)^6\] или \[\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \left(-\frac{1}{2}\right)^3\]
• Т.к. сумма 21/2, а знаменатель прогрессии отрицательный, то подойдет только нечетная степень, n=3