K-5 ІІ вариант 1. Постройте график функции: a) y = 2x; б) у=3x+2. Является ли функция возрастающей (убывающей) на множестве R? 2. Постройте график функции: a) y = -3x²; б) y = (x - 1)²-14. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции. Укажите значение х, при котором функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. 3. График функции у = kx + 1 проходит через точки А(0; 5) и В(2; 1). Найдите к и 1. 4. Постройте график функции у = -x² + 4x - 3. Определите по графику, на каком числовом промежутке функция принимает положительные значения. 5*. Поезд был задержан на станции на 12 мин. Чтобы прой- ти участок пути в 60 км без опоздания, машинист уве- личил скорость поезда на 10 км/ч. С какой скоростью шел поезд?

1. Постройте график функции:

а) y = 2x; б) y = -3x + 2.

Является ли функция возрастающей (убывающей) на множестве R?

Решение:

• а) y = 2x – линейная функция. Коэффициент при x равен 2, что больше нуля. Значит, функция возрастающая на множестве R.
• б) y = -3x + 2 – линейная функция. Коэффициент при x равен -3, что меньше нуля. Значит, функция убывающая на множестве R.

2. Постройте график функции:

а) y = -3x²; б) y = (x - 1)² - 14.

Найдите промежутки возрастания (убывания) функции. Укажите значение x, при котором функция достигает наибольшего (наименьшего) значения.

Решение:

• а) y = -3x² – парабола, ветви направлены вниз. Функция возрастает при x < 0 и убывает при x > 0. Наибольшее значение функции достигается при x = 0.
• б) y = (x - 1)² - 14 – парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке (1, -14). Функция убывает при x < 1 и возрастает при x > 1. Наименьшее значение функции достигается при x = 1.

3. График функции y = kx + l проходит через точки A(0; 5) и B(2; 1). Найдите k и l.

Решение:

Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой:

• Для точки A(0; 5): 5 = k * 0 + l => l = 5
• Для точки B(2; 1): 1 = k * 2 + 5 => 2k = -4 => k = -2

Ответ: k = -2, l = 5

4. Постройте график функции y = -x² + 4x - 3. Определите по графику, на каком числовом промежутке функция принимает положительные значения.

Решение:

Найдем нули функции, решив уравнение -x² + 4x - 3 = 0:

D = 4² - 4*(-1)*(-3) = 16 - 12 = 4

x₁ = (-4 + √4) / (2*(-1)) = (-4 + 2) / (-2) = 1

x₂ = (-4 - √4) / (2*(-1)) = (-4 - 2) / (-2) = 3

Функция принимает положительные значения на интервале (1; 3).

5*. Поезд был задержан на станции на 12 мин. Чтобы пройти участок пути в 60 км без опоздания, машинист увеличил скорость поезда на 10 км/ч. С какой скоростью шел поезд?

Решение:

Пусть x - первоначальная скорость поезда (км/ч).

Время, которое поезд должен был потратить на участок пути: 60/x

Время, которое поезд потратил на участок пути с увеличенной скоростью: 60/(x+10)

Разница во времени составляет 12 минут, или 0.2 часа.

Уравнение: 60/x - 60/(x+10) = 0.2

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

60(x+10) - 60x = 0.2x(x+10)

60x + 600 - 60x = 0.2x² + 2x

0.2x² + 2x - 600 = 0

x² + 10x - 3000 = 0

D = 10² - 4*1*(-3000) = 100 + 12000 = 12100

x₁ = (-10 + √12100) / 2 = (-10 + 110) / 2 = 100 / 2 = 50

x₂ = (-10 - √12100) / 2 = (-10 - 110) / 2 = -120 / 2 = -60 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: Первоначальная скорость поезда составляла 50 км/ч.