ки экстремумо функции характер- <-1 4) f(x) = x²+6x²-75x+1

Решение

Привет! Давай решим это задание вместе. Нам нужно найти экстремумы функции f(x) = x³ + 6x² - 75x + 8.

1. Находим первую производную функции:

Для этого используем правило дифференцирования степенной функции: (xⁿ)' = nx^(n-1)

\[f'(x) = 3x^2 + 12x - 75\]

2. Находим критические точки, приравняв первую производную к нулю:

\[3x^2 + 12x - 75 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[x^2 + 4x - 25 = 0\]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 16 + 100 = 116\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{116}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{2} = -2 \pm \sqrt{29}\]

Таким образом, у нас две критические точки:

\[x_1 = -2 - \sqrt{29} \approx -7.39\] \[x_2 = -2 + \sqrt{29} \approx 3.39\]

3. Определяем характер экстремумов с помощью второй производной:

Находим вторую производную функции:

\[f''(x) = (3x^2 + 12x - 75)' = 6x + 12\]

Теперь подставим критические точки во вторую производную:

\[f''(-2 - \sqrt{29}) = 6(-2 - \sqrt{29}) + 12 = -12 - 6\sqrt{29} + 12 = -6\sqrt{29} < 0\]

Так как вторая производная отрицательна, то в точке x₁ = -2 - √29 функция имеет максимум.

\[f''(-2 + \sqrt{29}) = 6(-2 + \sqrt{29}) + 12 = -12 + 6\sqrt{29} + 12 = 6\sqrt{29} > 0\]

Так как вторая производная положительна, то в точке x₂ = -2 + √29 функция имеет минимум.

4. Заключение:

Функция f(x) = x³ + 6x² - 75x + 8 имеет:

• Максимум в точке x₁ = -2 - √29 ≈ -7.39
• Минимум в точке x₂ = -2 + √29 ≈ 3.39

Ответ: Функция имеет максимум в точке x₁ = -2 - √29 и минимум в точке x₂ = -2 + √29.

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Математика покорится тебе!