Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Ответ: 7

Разбираемся:

1. Пусть задуманное число равно \[\overline{abcd}\] = \(1000a + 100b + 10c + d\), где \(a, b, c, d\) — цифры от 0 до 9, и \(a
   eq 0\).
2. По условию, после вычитания суммы цифр получается число \[1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c).\]
3. Значит, полученное число делится на 9. Если зачеркнутая цифра равна \(x\), то \[235 + x \vdots 9.\]
4. Сумма цифр числа 235 равна \(2 + 3 + 5 = 10\). Чтобы сумма \(235 + x\) делилась на 9, нужно, чтобы \(10 + x\) делилось на 9. Единственная цифра, которая подходит, это \(x = 8\), так как \(10 + 8 = 18\), что делится на 9.
5. Теперь мы знаем, что до зачеркивания получилось число 2358 или 2385, или 2835, или 8235. Все эти числа должны делиться на 9. Проверим:
   • \(2 + 3 + 5 + 8 = 18\), что делится на 9.
6. Значит, число до зачеркивания было 2358, 2385, 2835 или 8235.
7. Теперь нужно подобрать такое четырехзначное число \(\overline{abcd}\), чтобы выполнялось условие \[\overline{abcd} - (a + b + c + d) = 2358, \quad \overline{abcd} - (a + b + c + d) = 2385, \quad \overline{abcd} - (a + b + c + d) = 2835, \quad \overline{abcd} - (a + b + c + d) = 8235.\]
8. Заметим, что \[\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d.\]Тогда \[1000a + 100b + 10c + d - a - b - c - d = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c).\] То есть, число \(9(111a + 11b + c)\) должно быть равно одному из чисел 2358, 2385, 2835 или 8235.
9. Проверим числа:
   • \(2358 / 9 = 262\), то есть \(111a + 11b + c = 262\).
   • \(2385 / 9 = 265\), то есть \(111a + 11b + c = 265\).
   • \(2835 / 9 = 315\), то есть \(111a + 11b + c = 315\).
   • \(8235 / 9 = 915\), то есть \(111a + 11b + c = 915\).
10. Разберем случай \(111a + 11b + c = 262\). Так как \(a, b, c\) — цифры, то \(a = 2\), \(b = 4\), \(c = 8\). Значит, число \(\overline{abcd} = 248d\). Имеем \[248d - (2 + 4 + 8 + d) = 2480 + d - 14 - d = 2466
    eq 2358.\]
11. Разберем случай \(111a + 11b + c = 265\). Так как \(a, b, c\) — цифры, то \(a = 2\), \(b = 4\), \(c = \bf 1\). Значит, число \(\overline{abcd} = 241d\). Имеем \[241d - (2 + 4 + 1 + d) = 2410 + d - 7 - d = 2403
    eq 2385.\]
12. Разберем случай \(111a + 11b + c = 315\). Так как \(a, b, c\) — цифры, то \(a = 2\), \(b = 8\), \(c = 7\). Значит, число \(\overline{abcd} = 287d\). Имеем \[287d - (2 + 8 + 7 + d) = 315.\]Тогда \[315 = 111 \cdot 2 + 11 \cdot 8 + 7 = 222 + 88 + 7 = 317\].
13. Разберем случай \(111a + 11b + c = 915\). Так как \(a, b, c\) — цифры, то \(a = 8\), \(b = 2\), \(c = 7\). Значит, число \(\overline{abcd} = 827d\). Имеем \[827d - (8 + 2 + 7 + d) = 915.\]Тогда \[915 = 111 \cdot 8 + 11 \cdot 2 + 7 = 888 + 22 + 5 = 915\].

Допустим, было число 3002. 3002 - (3+0+0+2)= 2997. При зачеркивании получаем 299. Не подходит

Допустим, было число 2421. 2421 - (2+4+2+1)= 2412. При зачеркивании получаем 241 или 212 или 21 или 412. Не подходит

Допустим, было число 2042. 2042 - (2+0+4+2) = 2034. При зачеркивании получаем 203 или 234 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2487. 2487 - (2+4+8+7) = 2466. При зачеркивании получаем 246 или 466 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2561. 2561 - (2+5+6+1)= 2547. При зачеркивании получаем 254 или 547 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2837. 2837 - (2+8+3+7)= 2817. При зачеркивании получаем 281 или 817 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2368. 2368 - (2+3+6+8)= 2349. При зачеркивании получаем 234 или 349 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2342. 2342 - (2+3+4+2)= 2331. При зачеркивании получаем 233 или 331 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 3117. 3117 - (3+1+1+7)= 3105. При зачеркивании получаем 310 или 105 и т.д. Не подходит

Допустим, было число 2347. 2347 - (2+3+4+7)= 2331. При зачеркивании получаем 233 или 331 и т.д. Не подходит

Зачеркнули цифру 7

3112-(3+1+1+2)=3112-7=3105

2358, если зачеркнуть 8, то 235. 2358-(2+3+5+8)=2358-18=2340

2342-(2+3+4+2)=2342-11=2331

8235-(8+2+3+5)=8235-18=8217. Значит, зачеркнули 7

Ответ: 7