82. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите: 1) тангенс угла, прилежащего к большему катету; 2) синус угла, противолежащего меньшему катету; 3) косинус угла, прилежащего к большему катету; 4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Ответ: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{2}{\sqrt{13}}\); 3) \(\frac{3}{\sqrt{13}}\); 4) \(\frac{3}{2}\)

Разбираемся:

1. Для начала нарисуем прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, BC = 3 см, AC = 2 см.
2. Вспомним определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике:
• Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Котангенс угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
3. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\]
4. Теперь найдем нужные тригонометрические функции:
   • Тангенс угла, прилежащего к большему катету (∠B):
   \[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{3}\]
   • Синус угла, противолежащего меньшему катету (∠A):
   \[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]
   • Косинус угла, прилежащего к большему катету (∠B):
   \[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{13}}\]
   • Котангенс угла, противолежащего большему катету (∠A):
   \[ctg A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{2}\]

Ответ: 1) \(\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{2}{\sqrt{13}}\); 3) \(\frac{3}{\sqrt{13}}\); 4) \(\frac{3}{2}\)