Катер за 4 часа проплыл 12 км против течения и 28 км по течению. Найди скорость катера по озеру, если скорость течения равна 4 км/ч.

Решение:

Обозначим скорость катера по озеру как \( v_к \) км/ч, а скорость течения как \( v_т \) км/ч.

Скорость катера против течения равна \( v_к - v_т \).

Скорость катера по течению равна \( v_к + v_т \).

Из условия задачи известно, что \( v_т = 4 \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{12}{v_к - v_т} = \frac{12}{v_к - 4} \) часа.

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{28}{v_к + v_т} = \frac{28}{v_к + 4} \) часа.

Общее время движения катера составляет 4 часа: \( t_{против} + t_{по} = 4 \).

Подставим известные значения: \( \frac{12}{v_к - 4} + \frac{28}{v_к + 4} = 4 \).

Разделим обе части уравнения на 4: \( \frac{3}{v_к - 4} + \frac{7}{v_к + 4} = 1 \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( (v_к - 4)(v_к + 4) \):

\( \frac{3(v_к + 4) + 7(v_к - 4)}{(v_к - 4)(v_к + 4)} = 1 \)

\( \frac{3v_к + 12 + 7v_к - 28}{v_к^2 - 16} = 1 \)

\( \frac{10v_к - 16}{v_к^2 - 16} = 1 \)

\( 10v_к - 16 = v_к^2 - 16 \)

\( v_к^2 - 10v_к = 0 \)

\( v_к(v_к - 10) = 0 \)

Возможны два решения: \( v_к = 0 \) или \( v_к = 10 \).

Скорость катера не может быть равна 0, поэтому \( v_к = 10 \) км/ч.

Проверим: Скорость против течения \( 10 - 4 = 6 \) км/ч. Время против течения \( \frac{12}{6} = 2 \) часа. Скорость по течению \( 10 + 4 = 14 \) км/ч. Время по течению \( \frac{28}{14} = 2 \) часа. Общее время \( 2 + 2 = 4 \) часа. Условие выполнено.

Ответ: Скорость катера по озеру равна 10 км/ч.