2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч).

Скорость против течения: x - 2 (км/ч).

Скорость по течению: x + 2 (км/ч).

Время против течения: \(\frac{15}{x-2}\) (ч).

Время по течению: \(\frac{6}{x+2}\) (ч).

Общее время: \(\frac{15}{x-2} + \frac{6}{x+2}\) (ч).

Время по озеру: \(\frac{22}{x}\) (ч).

Составим уравнение:

\[\frac{15}{x-2} + \frac{6}{x+2} = \frac{22}{x}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{15(x(x+2)) + 6(x(x-2)) - 22((x-2)(x+2))}{x(x-2)(x+2)} = 0\]

Раскроем скобки:

\[\frac{15x^2 + 30x + 6x^2 - 12x - 22(x^2 - 4)}{x(x-2)(x+2)} = 0\] \[\frac{15x^2 + 30x + 6x^2 - 12x - 22x^2 + 88}{x(x-2)(x+2)} = 0\] \[\frac{(15+6-22)x^2 + (30-12)x + 88}{x(x-2)(x+2)} = 0\] \[\frac{-x^2 + 18x + 88}{x(x-2)(x+2)} = 0\]

Решим квадратное уравнение числителя:

\[-x^2 + 18x + 88 = 0\] \[x^2 - 18x - 88 = 0\] \[D = (-18)^2 - 4(1)(-88) = 324 + 352 = 676\] \[x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{676}}{2} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22\] \[x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{676}}{2} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 22 км/ч.

Ответ: 22 км/ч

Отлично, ты справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, и все получится!