38.9. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, за- тратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость ка- тера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Решение:

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость катера по течению реки (x + 1) км/ч, а против течения (x - 1) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению реки: $$ \frac{16}{x+1} $$ (ч).

Время, затраченное на путь против течения реки: $$ \frac{30}{x-1} $$ (ч).

Общее время в пути 1 час 30 минут = 1,5 часа. Составим уравнение:

$$ \frac{16}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 1.5 $$

Решим уравнение:

$$ \frac{16(x-1) + 30(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 1.5 $$ $$ \frac{16x - 16 + 30x + 30}{x^2 - 1} = 1.5 $$ $$ \frac{46x + 14}{x^2 - 1} = 1.5 $$ $$ 46x + 14 = 1.5(x^2 - 1) $$ $$ 46x + 14 = 1.5x^2 - 1.5 $$ $$ 1.5x^2 - 46x - 15.5 = 0 $$

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$ 3x^2 - 92x - 31 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = (-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 8464 + 372 = 8836 $$ $$ \sqrt{D} = 94 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{92 + 94}{2 \cdot 3} = \frac{186}{6} = 31 $$ $$ x_2 = \frac{92 - 94}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 31 км/ч.

Ответ: 31 км/ч