2 Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную ско- рость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть x км/ч - собственная скорость катера.

Тогда (x + 2) км/ч - скорость катера по течению реки, (x - 2) км/ч - скорость катера против течения реки.

$$\frac{80}{x+2}$$ ч - время, которое катер затратил на путь по течению реки.

$$\frac{80}{x-2}$$ ч - время, которое катер затратил на путь против течения реки.

Так как на весь путь катер затратил 9 часов, то можно составить уравнение:

$$\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} = 9$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+2)(x-2)$$, чтобы избавиться от дробей:

$$80(x-2) + 80(x+2) = 9(x+2)(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$80x - 160 + 80x + 160 = 9(x^2 - 4)$$ $$160x = 9x^2 - 36$$

Перенесем все в правую часть:

$$9x^2 - 160x - 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164$$

$$x_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18$$ $$x_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 18.

Собственная скорость катера 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч