Катер движется по течению реки в течение времени \( t = 57 \) мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет \( v = 16 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \), а скорость течения реки \( u = 5 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \). 1. Рассчитайте, какое расстояние \( s \) пройдёт катер. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность \( \Delta s \) расстояния, которое пройдёт катер, если считать, что время движения известно с абсолютной погрешностью 1 мин, скорость течения реки имеет абсолютную погрешность 1 км/ч, скорость катера в стоячей воде известна точно. Округлите результаты до десятых долей. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учётом погрешностей величин утверждать, что катер преодолеет расстояние в 19 км? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

1. 1. Расстояние, которое пройдёт катер:

   • Переведём время в часы: \( t = 57 \text{ мин} = \frac{57}{60} \text{ ч} = 0,95 \text{ ч} \).
   • Скорость катера по течению реки: \( v_{\text{теч}} = v + u = 16 + 5 = 21 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \).
   • Расстояние, которое пройдёт катер: \( s = v_{\text{теч}} \cdot t = 21 \cdot 0,95 = 19,95 \text{ км} \).

2. 2. Абсолютная погрешность расстояния:

   • Погрешность времени: \( \Delta t = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч} \).
   • Погрешность скорости течения: \( \Delta u = 1 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \).
   • Максимальная скорость катера с учётом погрешности: \( v_{\text{max}} = v + u + \Delta u = 16 + 5 + 1 = 22 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \).
   • Минимальная скорость катера с учётом погрешности: \( v_{\text{min}} = v + u - \Delta u = 16 + 5 - 1 = 20 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \).
   • Максимальное время с учётом погрешности: \( t_{\text{max}} = t + \Delta t = 0,95 + \frac{1}{60} = 0,95 + 0,0167 \approx 0,9667 \text{ ч} \).
   • Минимальное время с учётом погрешности: \( t_{\text{min}} = t - \Delta t = 0,95 - \frac{1}{60} = 0,95 - 0,0167 \approx 0,9333 \text{ ч} \).
   • Максимальное расстояние: \( s_{\text{max}} = v_{\text{max}} \cdot t_{\text{max}} = 22 \cdot 0,9667 \approx 21,2674 \text{ км} \).
   • Минимальное расстояние: \( s_{\text{min}} = v_{\text{min}} \cdot t_{\text{min}} = 20 \cdot 0,9333 \approx 18,666 \text{ км} \).
   • Абсолютная погрешность расстояния: \( \Delta s = \frac{s_{\text{max}} - s_{\text{min}}}{2} = \frac{21,2674 - 18,666}{2} \approx 1,3 \text{ км} \).
   • Округляем расстояние: \( s \approx 20,0 \text{ км} \).

3. 3. Можно ли утверждать, что катер преодолеет расстояние в 19 км?

   • С учётом погрешностей, минимальное расстояние, которое может пройти катер, составляет примерно 18,7 км, а максимальное – 21,3 км.
   • Так как 19 км находится в пределах этого интервала, можно утверждать, что катер преодолеет расстояние в 19 км.

Ответ: 1) 19,95 км ≈ 20,0 км; 2) Δs ≈ 1,3 км; 3) Да, можно утверждать.