Катер должен пересечь реку шириной L = 117 м и со скоростью течения и = 1,3 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t = L/u * ctga, где а – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом а (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 90 с?

Для решения задачи используем формулу времени движения катера:

$$t = \frac{L}{u \cdot \ctg \alpha}$$

где:

• $$L$$ - ширина реки (117 м),
• $$u$$ - скорость катера (неизвестна, но её можно найти),
• $$\alpha$$ - угол между направлением движения катера и берегом,
• $$t$$ - время в пути (не более 90 с).

Также известно, что катер должен причалить точно напротив места отправления. Это означает, что скорость течения реки должна компенсироваться горизонтальной составляющей скорости катера. То есть:

$$u_{течения} = u \cdot \sin \alpha$$

Выразим скорость катера:

$$u = \frac{u_{течения}}{\sin \alpha} = \frac{1.3}{\sin \alpha}$$

Подставим это выражение в формулу времени:

$$t = \frac{L}{\frac{u_{течения}}{\sin \alpha} \cdot \cos \alpha} = \frac{L \cdot \sin \alpha}{u_{течения} \cdot \cos \alpha} = \frac{L}{u_{течения} \cdot \ctg \alpha}$$

Из условия задачи время в пути должно быть не больше 90 с:

$$t \le 90$$

$$\frac{L}{u_{течения} \cdot \ctg \alpha} \le 90$$

$$\frac{117}{1.3 \cdot \ctg \alpha} \le 90$$

$$\frac{117}{1.3 \cdot 90} \le \ctg \alpha$$

$$\ctg \alpha \ge \frac{117}{1.3 \cdot 90} = \frac{117}{117} = 1$$

Таким образом,

$$\ctg \alpha \ge 1$$

Минимальный угол $$\alpha$$ , при котором выполняется это условие, равен 45 градусам, так как $$\ctg 45^\circ = 1$$.

Ответ: 45