16 Касательные точках B окружности K A и B с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Пусть касательные к окружности с центром O, проведенные из точки A и B, пересекаются в точке K под углом 72°.

Угол между касательными KB и KA равен 72°, то есть ∠BKA = 72°.

OA и OB - радиусы, проведенные в точки касания, поэтому OA ⊥ AK и OB ⊥ BK.

Значит, углы OAK и OBK прямые, то есть ∠OAK = 90° и ∠OBK = 90°.

Рассмотрим четырехугольник OAKB. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

$$∠AOB + ∠OAK + ∠OBK + ∠BKA = 360°$$

$$∠AOB + 90° + 90° + 72° = 360°$$

$$∠AOB + 252° = 360°$$

$$∠AOB = 360° - 252° = 108°$$

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB - радиусы, то OA = OB, и треугольник AOB - равнобедренный. Значит, углы при основании равны, то есть ∠OAB = ∠OBA.

Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°:

$$∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$$

$$108° + ∠OAB + ∠OBA = 180°$$

$$2∠OBA = 180° - 108°$$

$$2∠OBA = 72°$$

$$∠OBA = 36°$$

Следовательно, угол ABO равен 36°.

Ответ: 36