Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 42°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВО. OA и OB — радиусы окружности, значит \( OA = OB \). Треугольник АВО — равнобедренный.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Значит, \( \angle OAB = \angle OBA \) и \( \angle OAB = \angle OBA = 90^{\circ} \).

Угол между касательными равен \( 42^{\circ} \). Рассмотрим четырёхугольник, образованный точками касания А, В и центром окружности О, а также точкой пересечения касательных. Угол между касательными — это угол между отрезками, соединяющими точки касания с точкой их пересечения. В условии сказано, что касательные пересекаются под углом 42°, это угол между касательными. Обозначим точку пересечения касательных как С. Тогда \( \angle ACB = 42^{\circ} \).

В четырёхугольнике OACB (если бы мы его достроили), сумма углов равна 360°. \( \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 42^{\circ} = 144^{\circ} \).

Однако, рисунок показывает, что угол 42° — это угол \( \angle AOB \). Если \( \angle AOB = 42^{\circ} \) и \( OA = OB \) (радиусы), то треугольник АВО — равнобедренный.

Сумма углов в треугольнике АВО равна 180°.

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

Так как \( \angle OAB = \angle OBA \), то \( 2 \cdot \angle OBA + 42^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 42^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 138^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{138^{\circ}}{2} \)

\( \angle OBA = 69^{\circ} \)

Ответ: 69