касательная y=2x^3-4x^8+1 точки с абсциссой x_0=-1

Решение:

Найдём уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \).

Формула уравнения касательной: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдём значение функции в точке \( x_0 = -1 \):
   \( f(-1) = 2(-1)^3 - 4(-1)^8 + 1 = 2(-1) - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5 \)
2. Найдём производную функции: \( y' = (2x^3 - 4x^8 + 1)' \)
   \( y' = 2 · 3x^2 - 4 · 8x^7 = 6x^2 - 32x^7 \)
3. Найдём значение производной в точке \( x_0 = -1 \):
   \( f'(-1) = 6(-1)^2 - 32(-1)^7 = 6(1) - 32(-1) = 6 + 32 = 38 \)
4. Подставим значения в формулу уравнения касательной:
   \( y = -5 + 38(x - (-1)) \)
   \( y = -5 + 38(x + 1) \)
   \( y = -5 + 38x + 38 \)
   \( y = 38x + 33 \)

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 38x + 33 \).