касательная y = 2x^3 - 4x^2 + 1 точку с абсциссой x_0 = -1

Решение:

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = -1 \):
   \( y_0 = 2(-1)^3 - 4(-1)^2 + 1 = 2(-1) - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5 \).
2. Найдем производную функции: \( y' = (2x^3 - 4x^2 + 1)' = 6x^2 - 8x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = -1 \):
   \( y'(-1) = 6(-1)^2 - 8(-1) = 6(1) + 8 = 6 + 8 = 14 \).
4. Уравнение касательной имеет вид \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \).
   Подставим найденные значения:
   \( y - (-5) = 14(x - (-1)) \)
   \( y + 5 = 14(x + 1) \)
   \( y + 5 = 14x + 14 \)
   \( y = 14x + 14 - 5 \)
   \( y = 14x + 9 \).

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 14x + 9 \).