Карточка 4, пункт 3: Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите катеты, если отношение их длин равно 7/12.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Известно, что площадь (S) равна 168 см².

1. Выразим катеты через коэффициент подобия:

• Отношение катетов: \( \frac{a}{b} = \frac{7}{12} \)
• Пусть \( a = 7x \) и \( b = 12x \), где x — коэффициент пропорциональности.

2. Используем формулу площади прямоугольного треугольника:

• \[ S = \frac{1}{2} ab \]
• \[ 168 = \frac{1}{2} (7x)(12x) \]
• \[ 168 = \frac{1}{2} (84x^2) \]
• \[ 168 = 42x^2 \]
• \[ x^2 = \frac{168}{42} = 4 \]
• \[ x = \sqrt{4} = 2 \text{ см} \]

3. Найдем длины катетов:

• \[ a = 7x = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см} \]
• \[ b = 12x = 12 \cdot 2 = 24 \text{ см} \]

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 14 см и 24 см.