Карточка 18 7 класс 1. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. 2. Понятие перпендикуляра и наклонной к прямой. Расстояние от точки до прямой. 3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

Решение:

1. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника:

   Проведем через вершину C треугольника ABC прямую a, параллельную стороне AB. Углы ∠BAC и ∠ACD являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AB и a секущей AC. Следовательно, ∠BAC = ∠ACD. Углы ∠ABC и ∠BCE являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых AB и a секущей BC. Следовательно, ∠ABC = ∠BCE. Угол ∠ACB является смежным с углами ∠ACD и ∠BCE. Угол ∠ACB + ∠ACD + ∠BCE = 180°, так как это развернутый угол. Заменяя ∠ACD на ∠BAC и ∠BCE на ∠ABC, получаем: ∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°. Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°.

2. Понятие перпендикуляра и наклонной к прямой. Расстояние от точки до прямой:
   • Перпендикуляр — это отрезок, проведенный из данной точки к прямой.
   • Наклонная — это отрезок, проведенный из той же точки к прямой, отличный от перпендикуляра.
   • Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.
3. Задача: В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

Дано:

ΔABC — прямоугольный и равнобедренный.

AB = 42 см (гипотенуза).

CH ⊥ AB (CH — высота).

Найти: CH.

Решение:

1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в 2 раза больше катета. Обозначим катет за 'a'. Тогда \( a = \frac{42}{2} = 21 \) см.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{a \cdot a}{2} = \frac{21 \cdot 21}{2} = \frac{441}{2} = 220.5 \) см².
3. Площадь также можно вычислить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \).
4. Приравниваем два выражения для площади: \( 220.5 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot CH \)
5. \( 220.5 = 21 \cdot CH \)
6. \( CH = \frac{220.5}{21} = 10.5 \) см.

Ответ: Высота, проведённая из вершины прямого угла, равна 10,5 см.