3. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх со ско- ростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз по сравнению с начальной?

3. Определим высоту, на которой кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз.

Дано:

• Начальная скорость $$v_0 = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$.
• Ускорение свободного падения $$g = 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$.
• $$E_k = \frac{E_{k0}}{5}$$.

Найти: Высоту $$h$$.

Решение:

В начальный момент времени кинетическая энергия $$E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$$.

На высоте h кинетическая энергия $$E_k = \frac{mv^2}{2}$$.

Полная энергия камня сохраняется:

$$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$$

$$E = E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$$

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$$

Разделим обе части уравнения на m:

$$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gh$$

По условию, $$E_k = \frac{E_{k0}}{5}$$, то есть $$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{10}$$. Следовательно, $$\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{10}$$.

$$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v_0^2}{10} + gh$$

$$gh = \frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{10} = \frac{5v_0^2 - v_0^2}{10} = \frac{4v_0^2}{10}$$

$$h = \frac{4v_0^2}{10g} = \frac{2v_0^2}{5g}$$

$$h = \frac{2 \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{5 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{200}{49} \text{ м} \approx 4.08 \text{ м}$$.

Ответ: $$h \approx 4.08 \text{ м}$$.